查看“︁超現實數”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{Other uses|超實數}}
{{Numbers}}

在[[數學]]上，'''超現實數系統'''（{{lang-en|Surreal Numbers}}）是一種[[連續統]]，其中含有[[實數]]以及[[無窮]]量，即無窮[[無窮大量|大]]（[[無窮小量|小]]）量，其[[絕對值]]大（小）於任何正[[實數]]。超現實數與實數有許多共同性質，包括其[[全序關係]]「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了[[有序域]]{{备注|但當初在使用[[馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論]]來建立超現實數理論時，全體超現實數並不構成[[集合 (数学)|集合]]，而只構成[[真類]]，因此使用「[[域 (數學)|域]]」（field）此一術語看來不甚精確；在嚴格區分集合和真類顯然重要時，有些作者會使用首字母大寫的「Field」或全大寫的「FIELD」來指稱那些其實是真類，但又具有域的算術性質的對象。暫時可稱作「琙」（音同域）或「真類域」。如想得到一個真正的、作為集合的域，可以把構造限制在[[格羅滕迪克宇集]]中，這樣的話就得到一個集合，其[[基数 (数学)|基數]]為一種[[強不可達基數]]；又或者使用另一種形式的集合論，在其中，任何[[超限遞歸構造]]總要在[[可數序數]]（比如 <math>\varepsilon_0</math> ,即[[艾普塞朗數]]）處停下。}}。在嚴格的[[冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论|集合論]]意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如[[有理數域]]、[[實數域]]、[[有理函數|有理函數域]]、{{tsl|en|Levi-Civita field|列維-奇維塔域}}、{{tsl|en|Superreal number|上超實數|上超實數域}}和[[超實數 (非標準分析)|超實數域]]等，全都是超現實數域的[[域 (數學)|子域]]。超現實數域也包含可達到的、在[[集合論]]裡構造過的所有[[超限數|超限]][[序數]]。

[[File:Surreal number tree.svg|thumb|超现实数树的可视化。]]

超現實數是由[[約翰·何頓·康威]]所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由[[高德納]]在他的書《研究之美》{{备注|{{lang|en|Surreal number}}正式中文譯名尚未出現，但英語{{link-en|Surreal|Surreal}}一詞與[[超现实主义|Surrealism]]聯繫起來的話，在中文裡後者譯為「[[超現實主義]]」，因此「超現實數」便作為{{lang|en|surreal number}}的可能譯名。}}<ref>《研究之美》（Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness）</ref><ref>現在本書的中文譯文已經在大陸出版，見{{cite web |url=http://www.china-pub.com/static/zt_mb/zt_huodong_07.asp?filename=jsj_yjzm_120116 |title=存档副本 |accessdate=2012-05-10 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120316044720/http://www.china-pub.com/static/zt_mb/zt_huodong_07.asp?filename=jsj_yjzm_120116 |archivedate=2012-03-16 }}</ref>中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

== 概述 ==
康威<ref name="Con01">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=tXiVo8qA5PQC|title=On Numbers and Games|last=Conway|first=John H.|date=2000-12-11|publisher=CRC Press|isbn=9781568811277|edition=2|language=en|orig-year=1976|deadurl=no|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180327202421/https://books.google.com/books?id=tXiVo8qA5PQC|archivedate=2018-03-27}}</ref>使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的[[有序对|序对]]，记为 <math>\{ L | R \}</math>。这两个集合要求 <math>L</math> 里的每个元素都严格小于每个 <math>R</math> 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：<math>\{1|3\}=\left\{\frac 32|\frac 52\right\}=2</math>。

=== 整数及二进分数 ===

让我们先来看几个简单的例子。

: <math>\{|\}=0</math>
: <math>\{0|\}=1</math>
: <math>\{1|\}=2</math>
: <math>\{|0\}=-1</math>
: <math>\{|-1\}=-2</math>

因此整数都是超现实数。（以上几行是'''定义'''而非'''等式'''。）

: <math>\{0|1\}=\frac 12</math>
: <math>\left\{0|\frac 12\right\}=\frac 14</math>
: <math>\left\{\frac 12|1\right\}=\frac 34</math>

至此我们可以通过超现实数定义[[二进分数]]（分母为2的幂次的分数）。

=== 其他实数 ===

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：<math>\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\}</math>，<math>\pi = \{ 3, \frac{25}{8},\frac{201}{64},\ldots | 4, \frac{7}{2}, \frac{13}{4}, \frac{51}{16},\ldots \}</math>，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

=== 无穷数 ===

根据归纳法，我们可以构造出 <math>\omega=\{0,1,2,3\ldots|\}</math>，<math>\omega-1=\{0,1,2,3\ldots|\omega\}</math> 等无穷大的数，<math>\frac 1\omega=\{0|1,\frac 12,\frac 14,\frac 18\ldots\}</math> 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

=== 更多的数 ===

我们定义 <math>P_0 = {0}</math>。

若 <math>x=\{L|R\},\ L,R\subset P_i</math> 且 <math>x\not\in P_i</math>，那么 <math>x\in P_{i+1}</math>，这在直观上等价于“<math>x</math>是在第<math>i</math>天中出生的”。

那么我们可以观察发现：

* <math>1,-1\in P_1</math>
* <math>2,-2,\frac 12, -\frac 12\in P_2</math>
* <math>\pi, \omega, \frac 13\in P_\omega</math> 
* <math>\omega-1, \omega+1 \in P_{\omega+1}</math>
* <math>\omega+\pi \in P_{2\omega}</math>，其中<math>2\omega=\{0,1,2,\ldots,\omega+1,\omega+2,\ldots|\}</math>
* <math>\forall i \in \mathbb{Ord}: i\in P_i</math>

我们将超现实数集合称作 <math>\mathbb{No}</math>。

== 序关系 ==

给定  <math>x=\{X_L|X_R\},\ y=\{Y_L|Y_R\}</math>，我们（递归地）定义  <math>x\leq y</math> 当且仅当以下两命题同时成立：

*没有一个 <math>x_L\in X_L</math> 符合 <math>y \leq x_L</math>，
*没有一个 <math>y_R\in Y_R</math> 符合 <math>y_R\leq x</math>。

那么可以自然地定义 <math>x<y,x>y,x=y,x\geq y</math>。可以证明，这样的二元关系是一个[[全序关系]]。

我们分别将 <math>x<0, x>0, x\leq 0, x\geq 0</math> 称为 <math>x</math> 负、 <math>x</math> 正、 <math>x</math> 非正、 <math>x</math> 非负。

我们定义 <math>x\|y</math> 表示 <math>x\leq y</math> 与 <math>y\leq x</math> '''同时不成立'''。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的[[超現實數#博弈|博弈]]章节出现。

== 运算 ==

=== 加法 ===

我们定义超现实数之间的[[加法]]为 <math>x+y=\left\{X_L+y\cup x+Y_L | X_R+y\cup x+Y_R\right\}</math>，其中 <math>X+y=\left\{ x + y | x \in X\right\}, x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}</math>。

==== 加法逆元 ====

我们定义负号（[[加法逆元]]）为 <math>-x=\left\{-X_R|-X_L\right\}</math>，其中 <math>-X=\left\{-x|x\in X\right\}</math>。

可以验证这两个运算构成了（[[真类]]上的）[[阿贝尔群]]。

=== 乘法 ===

我们定义[[乘法]]运算为<math display="inline">x y = \left\{ (X_Ly+xY_L-X_LY_L) \cup (X_Ry+xY_R-X_RY_R)|(X_Ly+xY_R-X_LY_R) \cup (X_Ry+xY_L-X_RY_L) \right\}</math>，其中 <math>XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}</math>。

==== 乘法逆元 ====

我们定义（正数的）[[乘法逆元]]为<math display="inline">\frac 1y = \Bigg \{0, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^L}{y^R}, \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^R}{y^L} \Bigg | \frac{1+(y^L-y)(\frac1y)^L}{y^L}, \frac{1+(y^R-y)(\frac1y)^R}{y^R} \Bigg \}</math>，这样除法就是 <math>\frac{x}{y}=x\left(\frac{1}{y}\right)</math>。我们可以发现这个定义是[[递归定义|递归]]的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取<math display="inline">y = 3 = \{2|\}</math> 那么 <math display="inline">\frac 13</math>  会有一个 <math display="inline">0</math> 作为左项，导致了<math display="inline">\frac{1+(2-3)0}2=1/2</math> 会是一个右项。这又意味着 <math display="inline">\frac{1+(2-3)\left(\frac12\right)}2=\frac14</math> 作为左项、<math display="inline">\frac{1+(2-3)\left(\frac14\right)}2 = \frac 38</math> 作为右项，以此类推，所以我们有<math display="inline">\frac13 = \{0, \frac14, \frac5{16}, \ldots | \frac12, \frac38, \ldots\}</math> （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 <math>\frac 13</math>，因此是相容的）。

对于负数，我们定义 <math>\frac 1x= -\frac1{-x}\quad (x<0)</math>。

== 子集对应 ==

[[有理数]]、[[实数]]、[[序数]]分别是超现实数的子集。

=== 有理数 ===

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

=== 实数 ===

在定义出了有理数之后，使用[[戴德金分割]]可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设<math>x\in \mathbb R, x=A|A'</math>，其中 <math>A, A' \subset \mathbb{Q}</math>，那么立刻可知存在 <math>X\in \mathbb{No}, X=\left\{f(A) | f(B)\right\}</math> 是 <math>x</math> 的一个超现实数表示，其中 <math>f:\mathbb Q \to \mathbb {No}</math> 是有理数到超现实数的域同態。

=== 序数 ===

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合<ref>{{Cite mathworld|urlname=OrdinalNumber|title=Ordinal Number|accessdate=2018-03-27|language=en|deadurl=no|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171110084217/http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html|archivedate=2017-11-10}}</ref>。所有序数的全体记为<math>\mathbb{Ord}</math>，那么我们有：

* <math>f:\mathbb{Ord}\to \mathbb {No},\ f(X)=\left\{f(x), x\in X|\right\}</math>

这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 <math>\omega-1</math> 这一式子的值在序数中的结果是 <math>\omega</math>，而在超现实数中则是 <math>\{0,1,2,\ldots|\omega\}</math>.

== 博弈 ==

如果去除超现实数定义中对所有 <math>L<R</math> 的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做'''游戏'''<ref>{{cite book |author1=E. Berlekamp |author2=J. H. Conway |author3=R. Guy | title=[[Winning Ways for your Mathematical Plays]] | volume=I | publisher=Academic Press | year=1982 | isbn=0-12-091101-9}}<br/>{{cite book |author1=E. Berlekamp |author2=J. H. Conway |author3=R. Guy | title=Winning Ways for your Mathematical Plays | volume=II | publisher=Academic Press | year=1982 | isbn=0-12-091102-7}}</ref>。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。

显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如 <math>\star=\{0|0\}</math> 就不是，其满足 <math>\star \| 0</math>。

可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称'''左玩家'''）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称'''右玩家'''）的选择，不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。

我们可以发现，这个游戏的胜负取决于 <math>G</math> 和 <math>0</math> 的相对关系。

* 若 <math>G=0</math>，则后手必胜。
* 若 <math>G>0</math>，则左玩家必胜。
* 若 <math>G<0</math>，则右玩家必胜。
* 若 <math>G\|0</math>，则先手必胜（{{lang-en|fuzzy game}}）。

有以下这些特殊的游戏<ref>{{Cite mathworld|urlname=SurrealNumber|title=Surreal Number|accessdate=2018-03-27|language=en|deadurl=no|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170814032024/http://mathworld.wolfram.com/SurrealNumber.html|archivedate=2017-08-14}}</ref>：

* <math>\star=\{0|0\}</math> 
* <math>\uparrow=\{0|\star\},\ \downarrow=\{\star|0\}</math>
* <math>\pm 1=\{1|-1\}</math>

可以发现，关于他们有这么几个性质：

* <math>\star \| 0</math> 
* <math>\forall i: -1\leq i \leq 1 \implies \pm 1 \| i</math> 
* <math>\forall x\in \mathbb{No}, x>0:-x<\downarrow<0<\uparrow<x</math> （比所有超现实数更接近0）
* <math>\star+\star=\uparrow+\downarrow=0</math> 
* <math>(\uparrow+\star)\|0,\ \uparrow+\uparrow+\star>0</math> 

可以用于分析复杂的游戏。

== 暫譯術語 ==
* 超現實數（Surreal）
* 無窮量（Infinitesimal）
* [[格羅滕迪克]]宇集

== 注释 ==

{{NoteFoot}}

== 来源 ==
{{reflist}}

{{數的系統}}
[[Category:博弈论]]
[[Category:數|C]]
[[Category:无穷]]
[[Category:含暫譯術語|3個]]
[[Category:數學小作品]]