查看“︁超滤子”︁的源代码

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[[File:Filter vs ultrafilter.svg|thumb|集合{1,2,3,4}的幂集格。其中，[[上闭集合]] ↑{1,4}被涂成黄色。它是一个''主滤子''，但不是一个''超滤子''，因为它能够通过增加浅绿色元素而扩展为一个非平凡的滤子↑{1}。而由于↑{1} 无法再被进一步扩展，它是一个超滤子]]

在[[数学]]领域[[集合论]]中，在集合 ''X'' 上的'''超滤子'''是作为极大[[滤子 (数学)|滤子]]的 ''X'' [[子集]]的[[类 (数学)|搜集]]。超滤子可以被认为是有限可加性测度。那么 ''X'' 的所有子集要么被认为是“几乎所有”（有测度 1）要么被认为是“几乎没有”（有测度 0）。如果 ''A'' 是 ''X'' 的子集，则要么 ''A'' 要么 ''X''\''A'' 是超滤子的元素（这里 ''X''\''A'' 是 ''A'' 在 ''X'' 中的[[补集|相对补集]]；就是说，''X'' 的不在 ''A'' 中的所有元素的集合）。这个概念可以被推广到[[布尔代数]]甚至是一般[[偏序]]，并在集合论、[[模型论]]和[[拓扑学]]中有很多应用。

== 形式定义 ==
给定集合 X，X 的子集族 U 称为 X 上的'''超滤子'''，若U满足：
# ∅ ∉ U。
# ∀ A ∈ U, B ⊆ X，若A ⊆ B，则B ∈ U。
# ∀ A, B ∈ U，A ∩ B ∈ U。
# ∀ A ⊆ X，X\A ∈ U 与 A ∈ U 两者之一成立。(性质1,3已保证 X\A ∈ U，A ∈ U 不能同时成立)

=== 相关结论 ===
下列定理给出超滤子和[[滤子]]的特征：在集合 X 上一个[[滤子 (数学)|滤子]] U 是超滤子，若下列条件之一成立：
# U是最大的滤子：∀X上的滤子F，F ⊆ U。
# A ∪ B ∈ U ⇒ A ∈ U 或 B ∈ U。
# ∀A ⊆ X，则要么 A ∈ U 要么 X - A ∈ U。

查看集合 ''X'' 上超滤子的另一种方式是定义在 ''X'' 的[[幂集]]上一个函数 ''m''，设置 ''m''(''A'') = 1 如果 ''A'' 是 ''U'' 的元素，否则 ''m''(''A'') = 0。那么 ''m'' 是在 ''X'' 上的有限可加性测度，而 ''X'' 的元素的所有性质要么是[[几乎处处]]为真要么是几乎处处为假。注意这不定义要求“可数可加性”的平常意义上的[[测度]]。

对于不是超滤子的滤子 ''F''，可以说 ''m''(''A'') = 1 如果 ''A'' ∈ ''F''，并且 ''m''(''A'') = 0 如果 ''X'' - ''A'' ∈ ''F''，留着 ''m'' 在其他地方未定义。

== 完备性 ==
在一个集合上的超滤子 ''U'' 的'''完备性'''是最小基数 κ 使得有 κ 个 ''U'' 的元素它们的交集不在 ''U'' 中。这个定义蕴涵了任何超滤子的完备性至少是 <math>\aleph_0</math>。其完备性大于 <math>\aleph_0</math> 的超滤子，就是说 ''U'' 的元素的任何可数搜集的交集仍在 ''U'' 中，被称为'''可数完备'''的或 <math>\sigma</math>'''-完备'''的。

可数完全超滤子的完备性总是[[可测基数]]。

== 推广到偏序 ==
在[[序理论]]中，'''超滤子'''是[[偏序集合]](poset)的子集，它在所有[[真滤子]]中是极大的。形式的说，这声称了包含超滤子的任何滤子都必须等于整个偏序集合。这个概念的一个重要特殊情况出现在考虑的偏序集合是[[布尔代数]]的时候，因为在这种情况下超滤子在集合上（定义为相应[[幂集]]上的滤子）。在这种情况下，超滤子可以被特征化为，对布尔代数的每个元素 ''a'' 精确的包含元素 ''a'' 和 ¬''a'' 中的一个。(后者是 ''a'' 的布尔补元)。

在布尔代数上的超滤子可以通过[[素理想]]、[[极大理想]]确定，并[[布尔同态|同态]]于[[两元素布尔代数]] {true, false}：
* 布尔代数的极大理想同于素理想。
* 给定一个布尔代数到 {true, false} 的同态，“真”的逆像是超滤子，而“假”的逆像是极大理想。
* 给定布尔代数的一个极大理想，它的补集是超滤子，并有唯一一个到 {true, false} 的同态，把极大理想映射到“假”。
* 给定布尔代数的一个超滤子，它的补集是极大理想，并有唯一一个到 {true, false} 的同态，把超滤子映射到“真”。

我们看可以用做“超滤子”概念的定义的另一个定理。设 '''B''' 指示布尔代数而 ''F'' 是其中的真滤子{{NoteTag|就是说，滤子 ''F'' 带有额外的限制 <math>0 \notin F</math>，也就是说，不退化到同一于整个布尔代数（的全集）。}}。''F'' 是超滤子当且仅当：
: 对于所有 <math>a,b \in \mathbf B</math>，如果 <math>a \vee b \in F</math>，则 <math>a \in f</math> 或 <math>b \in f</math>
（避免混淆：这里使用符号 <math>\vee</math> 来指示布尔代数的运算，用口语描述逻辑连结词。）详情（和证明）可参见：<ref>[http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra] {{Wayback|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html |date=20191009044945 }} (written by [http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/index.html Stanley N. Burris] {{Wayback|url=http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/index.html |date=20210418142421 }} and H.P. Sankappanavar), Corrolary 3.13 on p.&nbsp;149.</ref>

== 超滤子的类型和存在性 ==

有两种非常不同类型的超滤子：主要的和自由的。'''主要'''（或'''固定'''或'''平凡'''）的超滤子是包含[[最小元]]的滤子。因此主超滤子有形式 ''F''<sub>''a''</sub>={''x'' | ''a''≤''x''} 对于给定偏序集合的某些(但非全部)元素 ''a''。在这种情况下 ''a'' 被称为超滤子的“主元素”。对于滤子在集合上的情况，有资格成为主元素的精确的是一元素集合。因此在集合 ''S'' 上的主超滤子由包含 ''S'' 的特定点的所有集合构成。在有限集合上的超滤子是主要的。不是主要的任何超滤子叫做'''自由'''（或'''非主要'''）超滤子。

可以证明所有滤子（或更一般的说，带有[[有限交集性质]]的任何子集）都包含在一个超滤子中（参见[[超滤子引理]]）并且自由超滤子因而存在，但是这个证明涉及[[佐恩引理]]形式的[[选择公理]]。因此不能给出自由主滤子的明确例子。经管如此，在无限集合上的几乎所有超滤子都是自由的。相反的，在有限偏序集合（或在有限集合上）的所有超滤子都是主要的，因为任何有限滤子都最小元素。

== 应用 ==

在集合上的超滤子应用于[[拓扑学]]特别是联系于[[紧致空间|紧致]][[豪斯多夫空间]]，和[[模型论]]中[[超乘积]]的构造。在紧致豪斯多夫空间上的所有超滤子会聚到精确的一个点。类似的，在偏序集合上超滤子是非常重要的，如果这个偏序集合是布尔代数，因为这种情况下超滤子同一于[[素滤子]]。这种形式的超滤子在[[Stone布尔代数表示定理]]中扮演中心角色。

在偏序集合 ''P'' 上所有超滤子 ''G'' 可以按自然方式来拓扑化，这实际上密切关联于上述表示定理。对于 ''P'' 的任何元素 ''a''，设 ''D''<sub>''a''</sub> = { ''U'' ∈ ''G'' | ''a'' ∈ ''U'' }。这是在 ''P'' 还是布尔代数时最有用的，因为在这种情况下所有 ''D''<sub>''a''</sub> 的集合是在 ''G'' 上的紧致豪斯多夫拓扑的基。特别是，在考虑在集合 ''S'' 上的超滤子的时候（就是说 ''P'' 是 ''S'' 的幂集并按集合包含排序），结果的[[拓扑空间]]是势为 |''S''| 的离散空间的[[斯通-切赫緊化]]。

在模型论中的[[超乘积]]构造使用超滤子来生成结构的[[基本扩张]]。例如，在构造[[超實數 (非標準分析)|超實數]]为[[实数]]的超乘积中，我们首先把论域从实数扩展到实数序列。这个序列空间被当作实数的超集，通过用对应的常量序列来识别每个实数。要把熟悉的函数和关系（比如 + 和 <）从实数扩展到超实数，自然的想法是逐点的定义它们。但是这会丢失实数的重要逻辑性质；比如逐点 < 不是全序。所以我们转而“逐点模 ''U''”的定义函数和关系，这里的 ''U'' 是在序列的索引集上的超滤子；通过[[Łoś定理]]，这保持了实数可以用[[一阶逻辑]]陈述的所有性质。如果 ''U'' 是非主要的，则从而获得的扩展是非平凡的。

== 注释 ==
{{NoteFoot}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:序理论|C]]
[[Category:集合族]]