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[[数学]]和[[理论物理]]中，'''超代数''指的是'''Z'''<sub>2</sub>-[[分次代数]]。<ref>{{harvnb|Kac|Martinez|Zelmanov|2001|p=3}}</ref>也就是说，它是[[交换环]]或[[域 (数学)|域]]上的代数，可以分解为“奇偶”两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。

“超”来自理论物理中的[[超对称]]。超代数及其表示（[[超模]]）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作[[超向量空间|超线性代数]]。超代数在相关的[[超几何]]领域也发挥着重要作用，它们进入了[[分次流形]]、[[超流形]]和超概形。

==形式定义==
令''K''为[[交换环]]。在大多数应用中，''K''是[[特征 (代数)|特征]]为0的[[域 (数学)|域]]，如'''R'''、'''C'''等。

''K''上的'''超代数'''是具有[[模的直和|直和]]分解的''K''-[[模]]''A''：
:<math>A = A_0\oplus A_1</math>
以及[[双射]]乘法<math>A\times A\to A</math>，使
:<math>A_iA_j \sube A_{i+j}</math>
其中下标读作[[模]]2，即将其看做<math>\Z_2</math>的元素。

'''超环'''或<math>\Z_2</math>[[分次环]]是[[整数]]环<math>\Z</math>上的超代数。
每个<math>A_i</math>中的元素称作'''齐次'''的。齐次元''x''的'''奇偶性'''记作{{abs|''x''}}，根据是在<math>A_0</math>还是在<math>A_1</math>中取0或1的值。称奇偶性为0的元素是'''偶'''的，奇偶性为1的元素是'''奇'''的。若''x''、''y''都齐次，则积''xy''也齐次，且<math>|xy| = |x| + |y|</math>。

'''结合超代数'''指乘法符合[[结合律]]的超代数，'''含幺超代数'''是指有乘法[[单位元]]的超代数。含幺超代数中的单位元必须是偶的。除非另有说明，本文中所有超代数都假定是结合含幺的。

'''[[交换超代数]]'''（或超交换代数）是一种满足[[交换律]]的分次版本的超代数。具体来说，若对''A''中所有齐次元''x''、''y''

:<math>yx = (-1)^{|x||y|}xy\,</math>

则称''A''交换。有些超代数在普通意义上是交换的，而在超代数意义上不是，因此为避免混淆，交换超代数常称作“宠爱交换”。<ref>{{harvnb|Varadarajan|2004|p=87}}</ref>

==例子==
*交换环''K''上任意代数都可视作''K''上的纯偶超代数，即将<math>A_1</math>视作平凡的。
*任何'''Z'''-或'''N'''-[[分次代数]]都可通过读取次数模2被视为超代数。这包括[[张量代数]]和''K''上的[[多项式环]]等例子。
*特别地，''K''上任何[[外代数]]都是超代数，外代数是[[超交换代数]]的标准例子。
*[[对称多项式]]与[[交替多项式]]分别构成同一超代数的偶部分和奇部分，注意这是与分次不同的分级。
*[[克利福德代数]]是超代数，通常是非交换的。
*[[超向量空间]]所有[[自同态]]的集合（记作<math>\mathbf{End} (V) \equiv \mathbf{Hom}(V,V)</math>，其中粗体的<math>\mathrm {Hom}</math>被称作内部（interval）<math>\mathrm {Hom}</math>，由所有线性映射组成）形成了组合运算下的超代数。
*元素属于''K''的所有[[超矩阵|超方阵]]的集合形成了超代数，记作<math>M_{p|q}(K)</math>。此代数可以视作等同于秩为<math>p|q</math>的''K''上自由超模的自同态代数，是这空间的内部Hom。
*[[李超代数]]是[[李代数]]的分次类似物。李超代数是无幺、非结合的，但可以构造类似于李超代数的[[泛包络代数]]，它是含幺结合超代数。

==进一步的定义与构造==
===偶子代数===
令''A''为交换环''K''上的超代数。[[子模]]<math>A_0</math>包含所有偶元，对乘法封闭，包含''A''的单位元，因此形成了''A''的[[子代数]]，自然地称作'''偶子代数'''，构成了''K''上的普通[[代数]]。

所有奇元素<math>A_1</math>的集合是<math>A_0</math>-[[双模]]，其标量乘法就是''A''中的乘法。''A''中的积使<math>A_1</math>具有[[双线性形式]]
:<math>\mu:A_1\otimes_{A_0}A_1 \to A_0</math>
使得<math>\forall x,\ y,\ z\in A_1,</math>
:<math>\mu(x\otimes y)\cdot z = x\cdot\mu(y\otimes z)</math>
这源于''A''中积的结合性。

===次对合===
任何超代数上都有规范的[[对合]][[自同构]]，称作'''次对合'''（grade involution），在齐次元上表为
:<math>\hat x = (-1)^{|x|}x</math>
在任意元上表为
:<math>\hat x = x_0 - x_1</math>
其中<math>x_i</math>是''x''的齐次部分。若''A''无2-[[扭化|扭子]]（特别是若2可逆），则次对合可区分''A''的奇偶部分：
:<math>A_i = \{x \in A : \hat x = (-1)^i x\}.</math>

===超交换===
''A''上的'''超交换子'''（supercommutator）是齐次元的二元运算
:<math>[x,y] = xy - (-1)^{|x||y|}yx</math>
并可以线性推广到''A''的所有元素。若<math>\exists x,\ y\in A,\ [x,\ y]=0</math>，称''x''、''y'''''超交换'''。

''A''的'''超中心'''（supercenter）是''A''中与所有元素超交换的元素集合：
:<math>\mathrm{Z}(A) = \{a\in A : [a,x]=0 \text{ for all } x\in A\}.</math>
一般来说''A''的超中心与作为未分次代数的特征的[[中心 (环论)|中心]]不同。交换超代数的超中心是''A''的全部元素。

===超张量积===
两超代数''A''、''B''的分次张量积可视作超代数<math>A\otimes B</math>，乘法规则为
:<math>(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) = (-1)^{|b_1||a_2|}(a_1a_2\otimes b_1b_2).</math>
若''A''或''B''是纯偶的，则这等同于普通的未分次张量积（不过结果是分次的）。但总之，超张量积一般不同于将''A''、''B''视作普通未分次代数的张量积。

==推广与范畴论定义==
可以很容易地将超代数的定义推广到包括交换超环上的超代数。上述定义是基环为纯偶的特例。

令''R''为交换超环。''R''上的'''超代数'''（superalgebra）是''R''-[[超模]]''A''，具有遵从分次的''R''-双线性乘法<math>A\times A\to A</math>。此处双线性意味着对所有齐次元<math>r\in R,\ x,\ y\in A,</math>
:<math>r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = (-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)</math>

等价地，可以把''R''上的超代数定义为超环''A''与超环同态<math>R\to A</math>，其像位于''A''的超中心。

超代数还有[[范畴论]]定义。所有''R''-超模组成的[[范畴 (数学)|范畴]]在超张量积下形成[[幺半范畴]]（monoidal category）（''R''为单位对象）。接着，''R''上的结合含幺超代数可定义为''R''-超模范畴中的[[幺半对象]]（monoid）；即，超代数是具有两个（偶）态射
:<math>\begin{align}\mu &: A\otimes A \to A\\ \eta &: R\to A\end{align}</math>
的''R''-超模''A''，其通常图是交换的。

== 注释 ==
<references/>

==参考文献==
*{{cite conference | author-link = Pierre Deligne | first1 = P. | last1 = Deligne |first2=J. W.|last2 = Morgan  | title = Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein) | book-title = Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians | volume = 1 | pages = 41–97 | publisher = American Mathematical Society | year = 1999 | isbn = 0-8218-2012-5}}
*{{cite book | first1 = V. G. | last1 = Kac | author-link1 = Victor Kac | first2 = C. | last2 = Martinez | first3 = E. | last3 = Zelmanov | author-link3 = Efim Zelmanov | year = 2001 | title = Graded simple Jordan superalgebras of growth one | series = Memoirs of the AMS Series | volume = 711 | publisher = AMS Bookstore | isbn = 978-0-8218-2645-4 | url = https://books.google.com/books?id=aJHUCQAAQBAJ&q=bibliogroup:%22Graded+simple+Jordan+superalgebras+of+growth+one%22 | access-date = 2024-03-21 | archive-date = 2024-03-27 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240327142512/https://books.google.com/books?id=aJHUCQAAQBAJ&q=bibliogroup:%22Graded+simple+Jordan+superalgebras+of+growth+one%22 | dead-url = no }}
*{{cite book | last = Manin | first = Y. I. | author-link = Yuri Manin| title = Gauge Field Theory and Complex Geometry | publisher = Springer | location = Berlin | year = 1997 | edition = (2nd ed.) | isbn = 3-540-61378-1}}
*{{cite book|last=Varadarajan|first=V. S.|author-link=V. S. Varadarajan|title=Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction|year=2004|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-3574-6|url=https://books.google.com/books?id=sZ1-G4hQgIIC&q=supersymmetry+for+mathematicians&pg=PA1|series=Courant Lecture Notes in Mathematics|volume=11|access-date=2024-03-21|archive-date=2023-11-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20231119013843/https://books.google.com/books?id=sZ1-G4hQgIIC&q=supersymmetry+for+mathematicians&pg=PA1|dead-url=no}}

{{应用数学}}

[[Category:代数]]