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[[数学]]中，'''超交换（结合）代数'''是[[超代数]]（即'''Z'''<sub>2</sub>-[[分次代数]]），使任意两个均质元素''x''、''y''都有<ref name=Varadarajan>{{cite book|last1=Varadarajan|first1=V. S.|title=Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction|publisher=American Mathematical Society|isbn=9780821883518|page=76}}</ref>

:<math>yx = (-1)^{|x| |y|}xy ,</math>

其中|''x''|表示元素的次，根据次数是奇是偶，分别是0或1（'''Z'''{{sub|2}}）。

等价地，若超交换子

:<math>[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx</math>

恒等于零，则形成超代数。满足上述超交换的代数结构有时称作'''skew-交换结合代数'''以强调其反交换性，或'''分次交换'''以强调其分次，若理解其超交换性则只是'''交换性'''。

赋予了平凡分次（即所有元素都为偶）的[[交换代数]]都是超交换代数。[[外代数]]是最常见的非平凡超交换代数。超代数的'''超中心'''指与所有元素超交换的元素集合，也是超交换代数。

超交换代数的偶子代数是[[交换代数]]，即偶元素必交换。奇元素则必反交换，即对于奇的''x''、''y''有
:<math>xy + yx = 0\,</math>
特别地，任何奇元素''x''的平方都为0，无论2是否可逆：
:<math>x^2 = 0 .</math>
因此，交换超代数（2可逆、非零度单成分）总包含[[幂零元]]。

'''Z'''-分次反交换代数具有性质：对每个次为奇的''x''，都有{{nowrap|1=''x''{{sup|2}} = 0}}（无论2是否可逆），称作[[交替代数 ]]。

==另见==
*[[分次交换环]]
*[[李超代数]]

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:代数]]