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[[数学]]上的'''赫維茲矩陣'''或'''赫尔维茨矩陣'''（Hurwitz matrix）或'''劳斯–赫尔维茨矩陣'''（Routh–Hurwitz matrix），或是工程學中'''穩定性矩陣'''，都是結構化的實數[[方块矩阵]]，由實係數多項式的係數所組成。

另外，在[[工程学]]及[[穩定性理論]]中的'''赫維茲矩陣'''（Hurwitz matrix）或'''赫維茲穩定矩陣'''（Hurwitz stable matrix），是指每個[[特征值]]其實部都為負值的矩陣。

==赫維茲矩陣和赫維茲穩定性準則==
給定一個實係數的多項式
:<math>p(z)=a_{0}z^n+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n</math>
則<math>n\times n</math>[[方块矩阵]]
:<math>
H=
\begin{pmatrix}
a_1 & a_3 & a_5 & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 \\
a_0 & a_2 & a_4 & & & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & a_1 & a_3 & & & & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & a_0 & a_2 & \ddots & & & 0 & \vdots & \vdots \\
\vdots & 0 & a_1 & & \ddots & & a_n & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots  & a_0 & & & \ddots &  a_{n-1} & 0 & \vdots \\
\vdots & \vdots  & 0 & & & & a_{n-2} & a_n & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & & & & a_{n-3} & a_{n-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & a_{n-4} & a_{n-2} & a_n
\end{pmatrix}.
</math>
即為對應多項式<math>p</math>的'''赫維茲矩陣'''，此多項式是[[阿道夫·赫維茲]]在1895年提出的，他提到 實係數多項式是[[穩定多項式]]（所有的根實部都為負值）若且唯若赫維茲矩陣的所有矩陣的首主序[[子式和余子式|子式]]<math>H(p)</math>均為正：

:<math>
\begin{align}
\Delta_1(p) &= \begin{vmatrix} a_{1} \end{vmatrix} &&=a_{1} > 0 \\[2mm]
\Delta_2(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} \\
   a_{0} & a_{2} \\
   \end{vmatrix} &&= a_2 a_1 - a_0 a_3 > 0\\[2mm]
\Delta_3(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} & a_{5} \\
   a_{0} & a_{2} & a_{4} \\
   0     & a_{1} & a_{3} \\
\end{vmatrix} &&= a_3 \Delta_2 - a_1 (a_1 a_4 - a_0 a_5 ) > 0
\end{align}
</math>
以下省略。

子式<math>\Delta_k(p)</math>稱為{{link-en|赫維茲判別式|Hurwitz determinant}}。

==赫維茲穩定矩陣==
在[[工程学]]及[[穩定性理論]]中，方块矩阵<math>A</math>稱為'''穩定矩陣'''（stable matrix）、'''赫維茲矩陣'''（Hurwitz matrix）若矩阵<math>A</math>的每個[[特征值]]其實部都為負值，也就是
:<math>\mathop{\mathrm{Re}}[\lambda_i] < 0\,</math>
針對每個特征值<math>\lambda_i</math>。矩陣<math>A</math>也稱為'''穩定性矩陣'''（stability matrix），因為若上述條件成立以下的[[常微分方程]]
:<math>\dot x = A x</math>
是漸近穩定，當<math>t\to\infty</math>時，<math>x(t)\to 0</math>。

若<math>G(s)</math>是（矩陣型的）[[传递函数]]，此传递函数稱為赫維茲传递函数的條件是若<math>G</math>中所有元素的[[极点 (复分析)|极点]]都有負的實部。此條件不需要<math>G(s)</math>在特定的<math>s</math>下為赫維茲矩陣，<math>G(s)</math>也不需要是方陣。

赫維茲传递函数和赫維茲矩陣的關係如下：若<math>A</math>是赫維茲矩陣，則以下的[[动力系统]]
:<math>\dot x(t)=A x(t) + B u(t)</math> 	
:<!-- This is no typo. There must be no dot on y --><math>y(t)=C x(t) + D u(t)\,</math> 	
有赫維茲传递函数。

任何連續动力系统<!--{{link-en||Dynamical system (definition)|dynamical system}}-->的雙曲[[不动点]]（或[[平衡点]]）都有局部[[李雅普诺夫稳定性]]若且唯若动力系统的[[雅可比矩阵]]在不动点處是赫維茲穩定。

赫維茲穩定矩陣是[[控制理论]]中重要的內容之一。一系統穩定的條件是其控制矩陣為赫維茲穩定矩陣，矩陣特徵值的負實部表示是[[负反馈]]。若其中有任何一個的實部為正，表示系統有[[正回饋]]，此系統不穩定。
<!--
==See also==
* {{link-en||M-matrix|M-matrix}}
* {{link-en||P-matrix|P-matrix}}
* {{link-en||Perron–Frobenius theorem|Perron–Frobenius theorem}}
* {{link-en||Z-matrix (mathematics)|Z-matrix}}
-->

==參考資料==
* {{cite journal
 | author = Hurwitz, A.
 | year = 1895
 | title = Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt
 | journal = Mathematische Annalen, Leipzig
 | URL = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002255472
 | issue = Nr. 46
 | pages = 273–284
}}
*{{cite journal
 | author = Gantmacher, F.R.
 | year = 1959
 | title = Applications of the Theory of Matrices
 | journal = Interscience, New York
 | volume = 641
 | issue = 9
 | pages = 1–8
}}
* Hassan K. Khalil (2002). ''Nonlinear Systems''. Prentice Hall.
* Siegfried H. Lehnigk, [http://www.springerlink.com/content/h192106tq8nl2274/ ''On the Hurwitz matrix'']{{Dead link|date=2020年3月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}, ''Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP)'', May 1970
* Bernard A. Asner, Jr., ''On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix'', SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
*Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña,  [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1063186.1063190 ''Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials''], Journal of Approximation Theory,  Volume 132, Issue 2 (February 2005)
{{PlanetMath attribution|id=5395|title=Hurwitz matrix|urlid=hurwitzmatrix}}

==外部連結==
*{{planetmath reference|id=5395|title=Hurwitz matrix|urlname=hurwitzmatrix}}
<!--{{Matrix classes}}-->
[[Category:矩陣]]
[[Category:微分方程]]