查看“︁费马引理”︁的源代码

{{not|费马定理}}
'''费马引理'''是[[实分析]]中的一个定理，以[[皮埃尔·德·费马]]命名。通过证明函数的每一个极值都是[[驻点]]（函数的[[导数]]在该点为零），该定理给出了一个求出[[可微函数]]的[[最大值]]和[[最小值]]的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解[[方程]]的问题。

需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的[[必要条件]]。也就是说，有些驻点不是极值，它们是[[拐点]]。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。

== 定理 ==
设函数f(x)在点x<sub>0</sub>的某[[邻域]]U(x<sub>0</sub>)内有定义，并且在x<sub>0</sub>处可导，如果对任意的<math>x\in U(x_0)</math>，有
:<math>f(x)\le f(x_0)</math>或<math>f(x)\ge f(x_0)</math>
那么<math>f^\prime(x_0)=0</math>。

费马引理的一个推论是，函数''f''在定义域''A''内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

== 证明 ==
假设<math>\displaystyle x_0</math>是一个极大值（如果<math>\displaystyle x_0</math>是极小值，证明亦类似）。那么存在一个<math>\delta > 0 </math>，使得对于所有的<math>\displaystyle |x - x_0| < \delta </math>，都有<math>f(x_0) \ge f(x)\, </math>。因此对于任何<math>h \in (0,\delta)</math>，有：

:<math>\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.</math>

由于当<math>\displaystyle h</math>从上方趋于0时，这个比值的[[函數極限|極限]]存在且为<math>\displaystyle f'(x_0)</math>，我们便有<math>f'(x_0) \le 0</math>。另一方面，当<math>h \in (-\delta,0)</math>时，我们注意到：

:<math>\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0</math>

当<math>\displaystyle h</math>从下方趋于0时，这个极限存在，且等于<math>\displaystyle f'(x_0)</math>，我们又有<math>f'(x_0) \ge 0</math>。

因此<math>\displaystyle f'(x_0) = 0</math>。

== 参见 ==
* [[罗尔定理]]
* [[微分中值定理]]

== 外部链接 ==
* {{planetmath|urlid=fermatstheoremstationarypoints|title=Fermat's Theorem (stationary points)}}
* {{planetmath|urlid=proofoffermatstheoremstationarypoints|title=Proof of Fermat's Theorem (stationary points)}}

{{皮埃爾·德·費馬}}

[[Category:实分析定理]]
[[Category:微分学]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]