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{{noteTA|G1=Physics}}
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{{short description|一個用來描述量子系統從一個能量特徵態躍遷到其他能量特徵態的遷躍速率的公式。}}
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在[[量子物理]]中，'''費米黃金定則'''是用來描述受一[[微擾]]後量子系統從某個能量[[特征向量|特徵態]]到一群連續能態的單位時間的躍遷機率公式。若微擾的強度不隨時間變化，此單位時間躍遷機率亦不隨時間變化，且正比於系統初始態和終末態間的耦合強度（由躍遷的{{tsl|en|Matrix element (physics)|矩陣元_(物理)|矩陣元}}平方來描述）以及[[態密度]]。若終末態不是連續態的一部分，但這一躍遷過程中存在[[量子去相干]]（例如原子弛豫過程，或微擾中存在噪聲的情形），此定則也可以應用——此時公式中的態密度项应替換為末態去相干頻寬的倒數。
==概述==
雖然黃金定則以[[恩里科·費米]]的名字命名，但推導该定則所涉大部分工作是由[[保羅·狄拉克]]完成的——他在20年前就推出了包含三項（常數<math>\frac{2\pi}{\hbar}</math>，微擾的矩陣元與能量差）的公式；这一公式与今天惯用的费米黄金定则在形式上是非常相似的。<ref>{{cite book|last1=Bransden|first1=B. H.|last2=Joachain|first2=C. J.|title=Quantum Mechanics|edition=2nd|year=1999|isbn=978-0582356917|page=443}}</ref><ref>{{cite journal | last = Dirac | first = P.A.M. | authorlink = Paul Dirac | title = The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation | journal = [[皇家學會報告|Proceedings of the Royal Society A]] | volume = 114 | pages = 243–265 | date=1 March 1927| issue = 767 | doi = 10.1098/rspa.1927.0039 | jstor=94746|bibcode = 1927RSPSA.114..243D }} See equations (24) and (32).</ref> 定则之所以以費米的名字命名，是由於費米强调了它的重要性，称其為「第二黃金定則」。<ref>{{cite book | last = Fermi | first = E. | title = Nuclear Physics | url = https://archive.org/details/nuclearphysicsco0000enri | publisher = University of Chicago Press | year = 1950 |isbn= 978-0226243658 }} formula VIII.2</ref>

大多數文献提及費米黃金定則時，指的是「第二黃金定則」。費米「第一黃金定則」具有与第二定則相似的形式，但前者刻畵的是每秒發生間接躍遷的機率。<ref>{{cite book | last = Fermi | first = E. | title = Nuclear Physics | url = https://archive.org/details/nuclearphysicsco0000enri | publisher = University of Chicago Press | year = 1950 |isbn= 978-0226243658 }} formula VIII.19</ref>

==推導==
費米黃金定則描述一個有著未被擾動的[[哈密頓量]]{{mvar| H}}<sub>0</sub>、處於[[量子態|初始態]]<math>  | i\rangle</math>的量子系統，在擾動[[哈密頓量]]{{mvar| H'}}作用下，躍遷到連續終末態的情形。若{{mvar| H'}}不含時，系統只會躍遷到與初始能量相同的末態。若{{mvar| H'}}以[[角頻率]]{{mvar|ω}}隨時間正弦震盪（即簡諧震盪），則會躍遷到能量與初始態相差{{math|  ''ħω''}}終末態。

在此兩種例子中，從初始態 <math> | i \rangle</math>到一套終末態 <math>| f\rangle</math>的「每秒躍遷的機率」基本上是一常數。考慮一階微擾後，可求得此常數的具體值：
::<math> \Gamma_{i \rightarrow f}= \frac{2 \pi} {\hbar}  \left | \langle f|H'|i  \rangle \right |^{2} \rho(E_{i})</math>
這裡的 <math> \langle f|H'|i  \rangle </math> 是初始態和終末態之間微擾量{{mvar| H'}}的 {{tsl|en|Matrix element (physics)|矩陣元素 (物理學)|矩陣元素}}（使用[[狄拉克符號]]），而 <math>\rho(E_{i})</math> 是初態能量<math>E_{i}</math>的[[態密度]]（在無限小的能量區間 <math>E + dE</math>中的連續態數量）。此躍遷機率也稱為「跃迁機率」，并正比於[[指数衰减#平均寿命|平均壽命]]的倒數。因此，測得系統處於<math> |f \rangle </math>的機率正比於<math> e^{-\Gamma_{i\rightarrow f} t} </math>。

推導公式的標準方法是從含時微擾理論開始，並假設測量時間遠大於實際躍遷所需時間，對吸收率（作爲時間<math>t</math>的函數）取<math>t\rightarrow\infty</math>的極限。<ref>{{Cite web |url=http://www.ph.utexas.edu/~schwitte/PHY362L/QMnote.pdf |title=R Schwitters' UT Notes on Derivation |accessdate=2010-01-07 |archive-date=2005-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20050304045445/http://www.ph.utexas.edu/~schwitte/PHY362L/QMnote.pdf |dead-url=no }}</ref><ref>It is remarkable in that the rate is ''constant'' and not linearly increasing in time, as might be naively expected for transitions with strict conservation of energy enforced. This comes about from interference of oscillatory contributions of transitions to numerous continuum states with only approximate ''unperturbed'' energy conservation, cf. [[沃尔夫冈·泡利|Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}} , pp. 150-151.</ref>

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!以含時微擾理論推導
!
|-
|{{main article|含時微擾理論}}
黃金定則是[[薛丁格方程式]]解哈密頓量最低階微擾{{mvar|H'}}的直接結果。總哈密頓量是「原」哈密頓量{{Mvar|H<sub>0</sub>}}和微擾量的和，<math>H = H_0 + H'</math>。在 [[相互作用绘景]]下，我們可以用未微擾的系統<math>|n\rang</math>的能量特徵態搭配<math>H_0 |n\rang = E_n |n\rang</math>展開任一量子態的時間演化。

被微擾的系統的量子態的級數展開在一時間''{{mvar|t}}''是<math>|\psi(t)\rang = \sum_n a_n(t) e^{- i E_n t / \hbar} |n\rang</math>。係數{{math|''a<sub>n</sub>''(''t'')}} 是在[[狄拉克繪景]]下用來產生機率幅的未知含時函數。此一量子態遵循含時薛丁格方程式: 

: <math> H |\psi(t)\rang = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang ~.</math>

展開哈密頓量和量子態到一階微擾，

<math>
 \left ( H_0+H'-\mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}\right ) \sum_n  a_n (t) |n\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}tE_n/\hbar}=0,
</math>
這裡 {{math|''E<sub>n</sub>''}} 和 {{math|{{ket|''n''}}}} 是穩定態{{mvar|H}}<sub>0</sub>的特徵值和特徵函數 。

此等式可以被重寫成一個針對<math>a_n(t)</math>的時間演化的微分方程式系統，
:<math>
\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}a_k (t)}{\mathrm{d}t}=\sum_n \langle k| H'|n\rangle a_n(t) \mathrm{e}^{\mathrm{i}t (E_k-E_n)/\hbar}.</math>
此等式相當簡潔但實際上無法普通地解開。

對於一個施加在{{mvar|t}}=0的常數微擾{{mvar|H'}}，我們可以用微擾理論<math>i</math>。即，如果<math>H'=0</math>，很明顯的<math>a_n(t)=\delta_{n,i}</math>，簡明的表述系統仍在初始態<math>i</math>。

對於<math>k\ne i</math>情況下，因為<math>H'\ne 0</math>所以<math>a_k(t)\ne 0</math>，且因為微擾的影響上述幾項量值皆假設很小。因此，可將<math>a_n(t)=\delta_{n,i}</math>放入上述等式0階項來得出第一個修正的振幅<math>a_k(t)</math>。
:<math>
\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}a_k (t)}{\mathrm{d}t}= \langle k| H'|i\rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}t (E_k-E_i)/\hbar}, </math>
經過積分後，
:<math>
\mathrm{i}\hbar a_k(t)= 2\langle k| H'|i\rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t/2} \frac{\sin \omega t/2}{\omega}
</math>
對於<math>\omega\equiv (E_k- E_i)/\hbar</math>，和 {{math|''a<sub>i</sub>''(0)}} =1，{{math|''a<sub>k</sub>''(0)}}=0，躍遷到 {{math|''a<sub>k</sub>''(''t'')}}態 (<math>k\ne i</math>)。

躍遷速率是
:<math>
\Gamma_{i\rightarrow k }= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left|a_k(t)\right|^2 =  \frac {2|\langle k| H'|i\rangle |^2}{\hbar^2} \frac{\sin \omega t}{\omega},</math>
一個對於小 {{mvar|ω}} 迅速上升的sinc函數。當<math>\omega=0</math>，<math>\sin(\omega t)/\omega=t</math>，所以到一個孤立的<math>|k\rangle</math>量子態的躍遷率隨時間{{mvar|t}}線性變化！

對於連續分布在能量{{mvar|E}}的量子態，它們一定要全部都被考慮到。因此需要在一能量區間中的態密度{{math|''ρ''(''E'')}}，來對它們的能量積分，同時也對應到{{mvar|ω}}。
:<math>
\Gamma_{i\rightarrow f }= \frac {2}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\omega \rho(\omega) |\langle f| H'|i\rangle |^2  \frac{\sin \omega t}{\omega} ~.</math>
考慮很長一段時間，sinc函數在{{mvar|ω}} ≈ 0迅速攀升，以及可忽略外部區間只考慮{{math|[−{{pi}}/''t'', {{pi}}/''t'']}}  ; 密度以及躍遷元素可以被拿出積分，因此躍遷率
:<math>
\Gamma_{i\rightarrow f }= \frac {2\rho |\langle f| H'|i\rangle |^2}{\hbar}  \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\omega  \frac{\sin \omega t}{\omega} </math>
只正比於[[狄利克雷積分]]，常數{{mvar|π}}。

「含時的部分消失了」，黃金定則是「常數衰變率」。<ref>{{cite book|author=Merzbacher, Eugen|year=1998|title=Quantum Mechanics|edition=3rd|publisher=Wiley, John & Sons, Inc.|isbn=978-0-471-88702-7|chapter=19.7|chapter-url=http://instrumentation.tamu.edu/~ting/other/QM_Merzbacher.pdf|access-date=2019-11-09|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304132258/http://instrumentation.tamu.edu/~ting/other/QM_Merzbacher.pdf|dead-url=no}}</ref> 它作為一個常數影響輻射的[[粒子衰變]]。（然而經過相當長的時間後只要{{math|''a''<sub>''k''</sub> ≪ ''a''<sub>''i''</sub>}}，{{math|''a<sub>k</sub>''(''t'')}}的長期增長不會對最低階的微擾理論產生影響。）
|
|}

只有矩陣元素 <math> \langle f|H'|i  \rangle</math> 的量值在費米黃金定律中作為變數。而矩陣元素的相位，包含躍遷過程中離散的資訊。
費米黃金定則也出現在電子傳輸的半古典[[波茲曼方程式]]方法。<ref name='sinitsyn-08jpa'>{{cite journal|title=Coordinate Shift in Semiclassical Boltzmann Equation and Anomalous Hall Effect|author=N. A. Sinitsyn, Q. Niu and A. H. MacDonald|journal=Phys. Rev. B|volume=73|year=2006|pages=075318|arxiv=cond-mat/0511310|doi=10.1103/PhysRevB.73.075318|bibcode = 2006PhRvB..73g5318S|issue=7 }}</ref><!-- N.A. Sinitsyn 2006 -->

==量子光學的應用==
當考慮兩個離散的[[能階|能階躍遷]]，費米黃金定則可以寫成
::<math>\Gamma_{i \rightarrow f}= \frac{2 \pi} {\hbar}  \left | \langle f|H'|i  \rangle \right |^{2} g(\hbar \omega)</math>
這裡的<math>g(\hbar \omega)</math> 是光子在該能量的態密度，<math>\hbar \omega </math>是[[光子]]的能量而<math>\omega</math>是[[角頻率]]。此表示以存在終末（光子）態的連續體為前提，即容許存在的光子能量是連續的。<ref>{{cite book |last1=Fox |first1=Mark |title=Quantum Optics: An Introduction |url=https://archive.org/details/quantumopticsint00foxm_250 |date=2006 |publisher=Oxford University Press |location=Oxford |isbn=9780198566731 |page=[https://archive.org/details/quantumopticsint00foxm_250/page/n69 51]}}</ref>

=== Drexhage的實驗===
[[File:Drexhage experiment.gif|thumb|right|偶極子的放射圖案和總功率（正比於衰變率）依賴於與鏡子的距離。]]

費米黃金定則預測了激發態根據態密度的衰變機率。實驗上這一現象可藉由測量鏡子附近的偶極子的衰變律：當鏡子創造出高低態密度的區域時，測量到的衰變率由鏡子和偶極子之間的距離決定。<ref>{{cite journal|title=Variation of the Fluorescence Decay Time of a Molecule in Front of a Mirror|author=K. H. Drexhage, H. Kuhn, F. P. Schäfer|journal=BERICHTE DER BUNSEN-GESELLSCHAFT FUR PHYSIKALISCHE CHEMIE|volume=72|pages=329|year=1968|doi=10.1002/bbpc.19680720261}}</ref><ref>{{cite journal|title=Influence of a dielectric interface on fluorescence decay time|author=K. H. Drexhage|journal=Journal of Luminescence|volume=1|pages=693|year=1970|doi=10.1016/0022-2313(70)90082-7}}</ref>

==相關條目==
{{portal|物理學}}
*[[指数衰减]]
*[[以恩里科·费米的名字命名的事物列表]]
*[[粒子衰變]]
*[[Sinc函数]]
*[[含時微擾理論]]
*[[Q值|薩晉定律]]

==參考文獻==
{{Reflist|2}}

==外部連結==
*[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/fermi.html More information on Fermi's golden rule] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/fermi.html |date=20160130013552 }}
*[http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527665709.app6/pdf Derivation of Fermi’s Golden Rule] {{Wayback|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527665709.app6/pdf |date=20171220015411 }}
*[http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/aqp/handout_dep.pdf Time-dependent perturbation theory] {{Wayback|url=http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/aqp/handout_dep.pdf |date=20210507045439 }}
*[https://arxiv.org/abs/1604.06916 Fermi's golden rule: its derivation and breakdown by an ideal model] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/1604.06916 |date=20210506161027 }}

{{DEFAULTSORT:费米黄金定则}}
[[Category:基本物理概念]]
[[Category:微擾理論]]
[[Category:数学物理]]