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'''费曼－卡茨公式'''是一个[[数学]][[公式]]与[[定理]]，得名于[[理查德·费曼]]和[[马克·卡茨]]，将[[随机过程]]和抛物型[[偏微分方程]]结合在一起。使用费曼－卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的[[条件期望]]的方式，从而将求此类[[微分方程]]的[[数值解]]转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。考虑偏微分方程：
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -V(x,t) u = f(x,t). \qquad \qquad t \in  [0, T], \, \, x \in \mathbb{R} </math>
:满足[[边界条件]]：<math> u(x,T)=\psi(x), </math>
其中的 <math>\mu,\ \sigma,\ \psi, V</math> 是已知的函数， <math>\ T</math> 是给定的参数，<math> u:\mathbb{R}\times[0,T]\to\mathbb{R}</math> 是所求的解函数。费曼－卡茨公式声明，这个偏微分方程的解函数可以写成某个随机过程的（条件）期望：
:<math> u(x,t) = E\left[ \int_t^T e^{-\int_t^s V(X_\tau)\ , d\tau}f(X_s,s)ds + e^{-  \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) | X_t=x \right] </math> 
其中<math>\ X = \left( X_t; t \geqslant 0 \right)</math> 是由以下的随机动力方程
<center><math>d X_t = \mu(X_t ,t)\,dt + \sigma( X_t ,t)\,dW_t,</math></center>
决定的[[伊藤过程|伊藤随机过程]]。其中的<math>\ W_t</math>是[[维纳过程]]（Wiener过程，又称为布朗过程），<math>\ X_t </math> 满足初始条件<math>\ X_0 = x</math>。

==条件==
费曼－卡茨公式建立在若干对参数函数的限制性条件下。这些条件主要是要求参数函数足够“平滑”与“规则”，使得随机微分方程和偏微分方程的解存在。

首先假设偏微分方程的解函数 ''u'' 存在。卡拉查斯和史雷夫在1988年证明了：当其余函数及 ''u'' 满足以下条件
#参数函数<math>\mu,\ \sigma,\ \psi,\ V,\ f</math>以及函数''u'' 都是[[连续函数]]。
#函数''u'' 关于''x'' 变量保持[[多项式]]增长，即存在正常数''M''和''c''，使得对所有的''x''，都有：
#:<math>\ u(x,t) \leqslant M(1+|x|^c)</math> 
#参数函数 <math>\psi </math> 和 <math> f</math> 都要么是正值函数，要么也满足类似以上的多项式增长条件。
#参数函数 <math> V</math> 有下界，并且
#参数函数 <math>\mu,\ \sigma</math> 满足关于''x'' 变量的[[利普希茨条件]]，即存在常数''K''，使得对所有不相等的''x'' 和''y''，都有：
#:<math> | \sigma (x,t) -\sigma (y,t)| + | \mu (x,t) - \mu (y,t) | \leqslant K|x - y|</math>
的时候，解函数可以用费曼－卡茨公式表达为条件期望的形式<ref name="appE">{{cite book | title =Dynamic Asset Pricing Theory | url =https://archive.org/details/dynamicassetpric0000duff_j5a5 | author =Darrell Duffie | publisher = Princeton University Press, 3rd Edition|isbn =978-0691090221 | year = 2001}}，附录E.</ref>。这些条件中并不保证解的存在性。要保证后者，需要更强的条件：

#参数函数 <math>\mu,\ \sigma</math> 有界，并且局部地满足关于''x'' 变量和''t'' 变量的[[利普希茨条件]]（即常数''K''可以和''x''相关）。
#对任意的''t''，参数函数 <math>\sigma</math> 都满足[[赫尔德连续]]条件，即存在与''t''无关的常数''H''和介于0与1之间的常数 <math>\alpha</math>，使得
#: <math> | \sigma (x,t) -\sigma (y,t)| \leqslant K|x - y|^{\alpha}</math>
#参数函数 <math> V</math> 有界，并且对任意的''t''，都局部地满足[[赫尔德连续]]条件。
#对任意的''t''，参数函数 <math> f</math> 都局部地满足[[赫尔德连续]]条件，并关于''x'' 变量满足多项式增长条件。 
# 参数函数 <math>\psi </math>  关于''x'' 变量满足多项式增长条件。 
以上条件由弗里德曼在1975年给出。1980年克里洛夫提出用更简洁（同时更强）的条件代替，可以是：
{{quote|所有的参数函数<math>\mu,\ \sigma,\ \psi,\ V,\ f</math>满足利普希茨条件并且二次连续[[导数|可导]]，同时满足多项式增长条件；函数''V''有下界。}}
在以上的条件下，偏微分方程的解唯一存在，并且满足费曼－卡茨公式的期望表达，同时也满足多项式增长条件<ref name="appE"/>。

==证明==
为简化起见，以下只证明<math> f(x, t)=0 </math>的情况。
设偏微分方程的解函数为 <math> u(x, t) </math>。对以下函数<math> Y_s = e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} u(X_s,s)</math> 使用[[伊藤引理|伊藤公式]]，可以得到：
:<math>dY_s = de^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} u(X_s,s) + e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\,du(X_s,s) +de^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}du(X_s,s)</math>

由于 <math>de^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} =-V(X_s) e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} \,ds</math>，等式右边第三项是高阶无穷小<math> o(dt) </math>，因此可以忽略。再一次对<math>du(X_s,s)</math> 使用伊藤公式，会得到
:<math>
dY_s =e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\,\left(-V(X_s) u(X_s,s) +\mu(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial x}(X_s,s)+\frac{\partial u}{\partial t}(X_s,s)+\frac{1}{2}\sigma^2(X_s,s)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(X_s,s) \right)\,ds</math>
:<math>
\;+e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\sigma(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial x} (X_s,s) \,dW_s.</math>
等式右边的第一项里的括号中的式子恰好是微分方程的左边，因此等于0。剩下的是： 
:<math>dY_s=e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\sigma(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial x} (X_s,s) \,dW_s.</math>

将这个等式的两边从 <math> t </math> 积分到 <math> T </math>，可以得到：
:<math> Y_T - Y_t = \int_t^T e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\sigma(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial X} (X_s,s) \,dW_s.</math>
两边取在已知<math> X_t = x </math>下的[[条件期望]]，并且注意到等式右边是一个[[伊藤积分]]，因此右边等于0。所以 <math>E[Y(T)| X_t=x] =  E[Y(t)| X_t=x] = u(x,t)</math>。注意到 
:<math>E[Y(T)| X_t=x] = E[e^{-  \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau} u(X_T,T)| X_t=x] = E[e^{-  \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau} \psi(X_T))| X_t=x]</math>
就可以得出需要证明的结论<ref>{{cite web | title =course of pde finance | url =http://www.math.nyu.edu/faculty/kohn/pde_finance.html | author =Robert V. Kohn | publisher =Courant Institute, New York University | access-date =2012-02-10 | archive-date =2021-03-03 | archive-url =https://web.archive.org/web/20210303121434/https://www.math.nyu.edu/faculty/kohn/pde_finance.html | dead-url =no }}</ref>。

==相关==
* 以上的条件期望形式的公式对多维的伊藤过程也适用。与之相应，解函数<math> u:\mathbb{R}^N\times[0,T]\to\mathbb{R}</math>相对的偏微分方程是：
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \mu_i(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_i} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\gamma_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i x_j} -r(x,t) u = f(x,t), </math>
其中的
:<math> \gamma_{ij}(x,t) =  \sum_{k=1}^N\sigma_{ik}(x,t)\sigma_{jk}(x,t),</math>
也就是说 <math>\gamma =\sigma\,\sigma^\prime</math>，其中<math>\sigma^\prime</math>是矩阵 <math>\sigma</math>的[[转置矩阵]]<ref>{{cite book |authors = Eckhard Platen, David Heath|title= A benchmark approach to quantitative finance |url = https://archive.org/details/benchmarkapproac0000plat|publisher=Springer|year=2006|isbn=9783540262121}}第357-358页.</ref>。

* 将解函数表示为条件期望的形式后，可以使用[[蒙特卡罗方法|蒙特卡罗]]或[[准蒙特卡罗方法]]来求出近似的数值解。
* 此定理最早由卡茨于1949年发表<ref>{{cite journal|last=Kac|first=Mark|title=On Distributions of Certain Wiener Functionals|journal=Transactions of the American Mathematical Society|authorlink=Mark Kac|volume=65|issue=1|pages=1–13|jstor=1990512|year=1949|doi=10.2307/1990512}}</ref>，最初的费曼－卡茨公式是作为一个解决某些维纳泛函的分布的公式提出的。假设<math>\ x(\tau)</math> 是满足初始条件 <math>\ x(0) = 0</math>的某个扩散过程。现要求出以下函数的期望值
:<math> e^{-\int_0^t V(x(\tau))\, d\tau} </math>
费曼－卡茨公式说明这个期望值等价于对某个扩散方程（抛物型偏微分方程）的解的积分。特别地，当条件<math>\ u V(x) \geqslant 0</math>满足时，若设<math>\ w(x,0) = \delta(x)</math>并满足<math>\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} - u V(x) w
</math>，则有
:<math> E\left( e^{- u \int_0^t V(x(\tau))\, d\tau} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} w(x,t)\, dx </math> 

费曼－卡茨公式也可以阐释成对某个特定形式的[[泛函积分]]求值的一种方法。如果：
:<math> I = \int f(x(0)) e^{-u\int_0^t V(x(t))\, dt} g(x(t))\, Dx </math>

其中的积分对所有的[[随机游走|随机漫步]]路径取得，那么
:<math> I = \int w(x,t) g(x)\, dx </math>
其中<math>\ w(x,t)</math>是抛物型偏微分方程 <math> \frac{\partial w}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} - u V(x) w, </math> 的解。并满足初始条件 <math>\ w(x,0) = f(x)</math>.

== 参见 ==
* [[伊藤引理]]
* [[Kunita–Watanabe定理]]
* {{le|吉萨诺夫定理|Girsanov theorem}}
* {{le|科尔莫戈罗夫方程|Kolmogorov theorem|科尔莫戈罗夫前向方程}}（也称为Fokker–Planck方程）

==参考来源==
* {{cite book|last=Simon|first=Barry|authorlink=Barry Simon|title=Functional Integration and Quantum Physics|url=https://archive.org/details/functionalintegr0000simo|year=1979|publisher=Academic Press}}
* {{cite book|last=Pham|first=Huyên|title=Continuous-time stochastic control and optimisation with financial applications|year=2009|publisher=Springer-Verlag}}
{{reflist}}
{{Stochastic processes}}
{{DEFAULTSORT:Feynman–Kac Formula}}
[[Category:随机过程]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:理查德·费曼]]