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[[File:FKPPwiki.jpg|thumb|费希尔-KPP方程的数值模拟。]]
'''费希尔-柯尔莫哥洛夫方程'''是以英国统计学家[[罗纳德·费希尔]]和俄国数学家[[安德雷·柯尔莫哥洛夫]]命名的[[非线性偏微分方程]]，常见于[[热传导]]、[[燃烧]]理论、[[生物学]]、[[生态学]]等领域。某些文献<ref name="ExactSolution">{{cite journal|last1=Ma|first1=W.X.|last2=Fuchssteiner|first2=B.|title=Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation|url=https://archive.org/details/sim_international-journal-of-non-linear-mechanics_1996-05_31_3/page/329|journal=International Journal of Non-Linear Mechanics|date=1996-05|volume=31|issue=3|pages=329–338|doi=10.1016/0020-7462(95)00064-X|accessdate=2018-02-09}}</ref><ref name="OntheKPP"/>中又称费希尔-柯尔莫哥洛夫方程为'''柯尔莫哥洛夫-[[伊万·彼得罗夫斯基|彼得罗夫斯基]]-皮斯库诺夫方程'''（Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov equation），或'''KPP方程'''，'''费希尔-KPP方程'''。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程是[[费希尔方程]]的推广形式。费希尔-柯尔莫哥洛夫方程的基本形式为{{#tag:ref|Graham所著的《Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple》一书中第八章提到的“Fisher–Kolmogorov Equation”实际上是第十章“Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov Equation”（即下式）在 D = 1、a = 1、b = -1、m = q + 1 时的特殊情况。|group="注"}}：

:<math> \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + a u + b u^m</math>

其中，a、b、D、m为任意常数，且m不等于1。<ref name="Graham">{{cite book|last1=Schiesser|first1=Graham W. Griffiths, William E.|title=Traveling wave analysis of partial differential equations : numerical and analytical methods with MATLAB and Maple|date=2011|publisher=Academic Press|location=Amsterdam|isbn=0123846528|url=https://zh.scribd.com/document/367384528/Graham-W-Griffiths-William-E-Schiesser-Traveling-Wave-Analysis-of-Partial-Differential-Equations-Numerical-and-Analytical-Methods-With-Matlab-and|accessdate=2018-02-09}}{{Dead link}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Adomian|first1=G.|title=Fisher-Kolmogorov equation|url=https://archive.org/details/sim_applied-mathematics-letters_1995-03_8_2/page/51|journal=Applied Mathematics Letters|date=1995-03|volume=8|issue=2|pages=51–52|doi=10.1016/0893-9659(95)00010-N}}</ref>

通过重新定义时间的尺度，可以[[不失一般性]]地令参数 D 等于1，因此一些文章中直接将形如 <math>u_t - u_{xx} + \mu u + \nu u^2 + \delta u^3=0</math> 称为KPP方程<ref name="ExactSolution"/><ref name="OntheKPP">{{cite journal|last1=Unal|first1=ARZU OGUN|title=On the Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation|journal=Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Ser. A1|date=2013|volume=62|issue=1|page=1-10|url=http://dergiler.ankara.edu.tr/dergiler/29/1889/19817.pdf|accessdate=2018-02-09|archive-date=2018-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20180602055905/http://dergiler.ankara.edu.tr/dergiler/29/1889/19817.pdf|dead-url=no}}</ref>。其他形似KPP方程的，例如 <math> {\partial u}/{\partial t} = \frac{D}{2} {\partial^2 u}/{\partial x^2} + f(u)</math> <ref>{{cite book|last1=al.]|first1=Mark Freidlin...[et|title=Surveys in applied mathematics.|date=1995|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-1-4615-1991-1|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4615-1991-1_1|accessdate=2018-02-09|archive-date=2019-12-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20191202144844/https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4615-1991-1_1|dead-url=no}}</ref> 和 <math>u_t + (-\Delta)^\alpha u = \mu (x) u - u^2</math> <ref>{{cite journal|last1=Cabre|first1=Xavier|last2=Coulon|first2=Anne-Charline|last3=Roquejoffre|first3=Jean-Michel|title=Propagation in Fisher-KPP type equations with fractional diffusion in periodic media|journal=arXiv:1209.4809 [math]|date=2012-09-21|doi=10.1016/j.crma.2012.10.007|url=https://arxiv.org/abs/1209.4809|accessdate=2018-02-09|archive-date=2019-08-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20190827123145/https://arxiv.org/abs/1209.4809|dead-url=no}}</ref> 被称作“KPP型方程（KPP type equation）”或“费希尔-KPP型方程（Fisher-KPP type equation）”。

== 解析解 ==
形如 <math> \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + a u + b u^m</math> 的KPP方程有以下解析解<ref name="Graham"/>：

:<math>u(x,t)=[\beta +exp(\lambda t +\frac{\mu x}{\sqrt{D}}]^\frac{2}{1-m}</math>

其中，

:<math>\lambda=\frac{a(1-m)(m+3)}{2(m+1)}</math>

:<math>\mu=\sqrt{\frac{a(1-m)^2}{2(m+1)}}</math>

:<math>\beta=\sqrt{-\frac{b}{a}}</math>

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 | title  = KPP方程的解
 | footer = 
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 | height = 270
 |File:Fisher Kolmogorov pde traveling wave solution Maple animation.gif|
 |File:Fisher_Kolmogorov_pde_Maple_plot.png|
 |File:Maple plot of KPP pde.png|
 }}

== 行波图 ==
利用[[Maple]]的TWSolutions软件包，当m = 2时，可以得到如下的行波图:

{{Gallery
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|align=center
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot8.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot11.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot13.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot14.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot16.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot17.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot19.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot20.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot23.gif|
|File:Fisher Kolmogorov equation traveling wave plot33.gif|
}}

== 相关条目 ==
* [[费希尔方程]]
* [[反应-扩散系统]]

== 注释 ==
{{Reflist|group="注"}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 延伸阅读 ==
# 谷超豪 《[[孤立子]]理论中的[[达布变换]]及其几何应用》 上海科学技术出版社
# 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
# 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
# 王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
# 何青 王丽芬编著 《[[Maple]] 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
# Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
# Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
# Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
# Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
# Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
# David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
# George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

{{非线性偏微分方程}}
[[category:非线性偏微分方程]]
[[category:孤立子]]