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{{distinguish2|金融数学中的[[費雪方程式]]}}

在[[数学]]中，''' 费希尔方程'''（Fisher equation），是由[[生物学家]][[罗纳德·艾尔默·费希尔]]于1936年为了研究人群中某[[基因]]的传播，以及[[邏輯函數|逻辑型]]的生长-[[扩散]]现象而引入的一个[[非线性偏微分方程]]。此方程可以描述一些在[[生物学]]和[[化学]]系统中出现的波的传播现象，例如[[燃烧]]、扩散和[[传质]]、非线性扩散、[[生态学]]以及[[反应堆]]中的[[中子]]数量等等<ref name="maple"/>。费希尔方程可写成以下形式:
:<math> \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = a u(1-u)</math> <ref name="maple">{{cite book|last1=Lizárraga-Celaya|first1=Inna K. Shingareva, Carlos|title=Solving nonlinear partial differential equations with Maple and Mathematica|date=2011|publisher=Springer|location=New York|isbn=3709105161|url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-7091-0517-7.pdf|accessdate=2018-02-09}}</ref><ref name="handbook">{{cite book|last1=Zaitsev|first1=Andrei D. Polyanin, Valentin F.|title=Handbook of nonlinear partial differential equations|date=2012|publisher=CRC Press|location=Boca Raton, FL|isbn=1420087231|edition=2nd ed.|url=https://komunitasfisikaunimed.files.wordpress.com/2010/02/all-of-equation.pdf|accessdate=2018-02-09|archive-date=2018-02-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20180210062328/https://komunitasfisikaunimed.files.wordpress.com/2010/02/all-of-equation.pdf|dead-url=no}}</ref><ref name="eqworld">{{cite web|author1=Andrei D. Polyanin|title=Parabolic Equations - EqWorld|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc1.htm|website=eqworld.ipmnet.ru|accessdate=2018-02-09|language=en|archive-date=2019-07-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20190718113336/http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc1.htm|dead-url=no}}</ref>。

费希尔方程是[[费希尔-柯尔莫哥洛夫方程]]的一种特例。<ref name="ExactSolution">{{cite journal|last1=Ma|first1=W.X.|last2=Fuchssteiner|first2=B.|title=Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation|url=https://archive.org/details/sim_international-journal-of-non-linear-mechanics_1996-05_31_3/page/329|journal=International Journal of Non-Linear Mechanics|date=1996-05|volume=31|issue=3|pages=329–338|doi=10.1016/0020-7462(95)00064-X|accessdate=2018-02-09}}</ref>

==解析解==
费希尔方程的行波解（traveling-wave solution）为：

:<math>w(x,t) = \pm \xi^2 \varphi(\xi)</math>  且  <math>\xi = C_1 exp(\frac{1}{6}\sqrt{6a}x + \frac{5}{6}at)</math>

其中，<math>\varphi(\xi)</math> 通过[[隐函数]]定义为：

:<math>\xi = \int \frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{\pm(4\varphi^3-1)}} - C_2</math>

C<sub>1</sub> 和 C<sub>2</sub> 为任意的常数。上述定义的[[反函数]]对应着[[魏爾斯特拉斯橢圓函數]]，即

:<math>\varphi(\xi) = \wp (\xi+C_3,0,1)</math> <ref name="handbook"/>

==行波图==
{|
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 1.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 2.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 3.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 4.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|}
{|
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 5.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 6.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 7.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 8.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|}
{|
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 9.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 10.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 11.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|[[File:Fisher equation traveling wave plot 12.gif|thumb|费希尔方程行波图]]
|}

== 相关条目 ==
* [[费希尔-柯尔莫哥洛夫方程]]
* [[反应-扩散系统]]

==参考文献==
<references/>

==延伸阅读==
# 谷超豪 《[[孤立子]]理论中的[[达布变换]]及其几何应用》 上海科学技术出版社
# 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
# 李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
# 王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
# 何青 王丽芬编著 《[[Maple]] 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
# Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
# Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
# Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
# Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
# David Betounes, Partial Differential Equations for Computational Science: With Maple and Vector Analysis Springer, 1998 ISBN 9780387983004
# George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 1998 ISBN 9780120644759

{{非线性偏微分方程}}
[[category:非线性偏微分方程]]