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'''负数'''（[[英文]]：Negative number），在[[数学]]上指[[小于]][[0]]的[[实数]]，如−2、−3.2和−807.5，与[[正数]]相对。负數本身是一個[[不可數]]的[[無限集合]]。這個[[集合 (數學)|集合]]在[[数学]]上通常用[[粗體]]'''R<sup>−</sup>'''或<math>\mathbb{R}^-</math>来表示。负数与[[0]]统称非正数。{{Numbers}}

== 负数的历史 ==
[[负整数]]可以被认为是[[自然数]]的扩展，使得等式<math>x-y=z</math>对任意<math>x</math>和<math>y</math>都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在[[会计学]]上，它可以被用来表示[[债务|負債]]，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。

自从[[漢代]]，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。<ref>{{Citation|title=Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods)|last=Wáng|first=Qīngxiáng|isbn=4-88595-226-3|publisher=Tōyō Shoten|place=Tokyo|year=1999}}</ref> 公元1世纪的《[[九章算術]]》说“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”<ref>{{cite wikisource |title=九章算術 |wslink=九章算術#卷第八_方程 |wslanguage=zh |location=中国}}</ref>（這段話的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。”）。以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。

尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。<ref>{{Cite web |url=http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol1no2c.htm |title=HPM通訊第二期 |access-date=2018-04-19 |archive-date=2020-01-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200129134536/http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol1no2c.htm |dead-url=no }}</ref>

西方最早在数学上使用负数的文獻紀錄，是由[[古印度]][[數學家]][[婆羅摩笈多]]於公元628年完成的《{{link-en|婆罗摩历算书|Brāhmasphuṭasiddhānta}}》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪{{fact|date=July 2019}}才接受负数的概念。

== 符号函数 ==
在实数上可以定义这样一个函数<math>\sgn (x)</math>，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为[[符号函数]]：
:<math>\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right. </math>

当<math>x</math>不为 0 时，则有：
:<math>\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1. </math>

这里，<math>\left \vert x \right \vert</math>为<math>x</math>的[[绝对值]]，<math>H(x)</math>为[[单位阶跃函数]]。请参见[[导数]]。

== 负数的四則運算 ==
{| class="wikitable" align="center" style="text-align: center;"
|+ 負數四則運算口訣
|- style="color: white; background-color: dodgerblue; font-weight: bold;"
| rowspan="3" | 口訣 || colspan="8" | 釋義
|- style="color: white; background-color: dodgerblue; font-weight: bold;"
| rowspan="2" | 加法 || rowspan="2" | 減法 || colspan="3" | 乘法 || colspan="3" | 除法
|- style="color: white; background-color: dodgerblue; font-weight: normal;"
| 被乘數 || 乘數 || 積 || 被除數 || 除數 || 商
|-
| <span style="color: red;">'''正'''</span><span style="color: green;">'''正'''</span>得<span style="color: blue;">'''正'''</span> || style="background-color: #ffe7e7;" | ''a'' <span style="color: red;">'''+'''</span> (<span style="color: green;">'''+'''</span>''b'') = ''a'' <span style="color: blue;">'''+'''</span> ''b'' || style="background-color: #ffffe7;" | － || style="color: red; background-color: #e7ffe7;" | 正 || style="color: green; background-color: #e7ffe7;" | 正 || style="color: blue; background-color: #e7ffe7;" | 正|| style="color: red; background-color: #e7e7ff;" | 正 || style="color: green; background-color: #e7e7ff;" | 正 || style="color: blue; background-color: #e7e7ff;" | 正
|-
| <span style="color: red;">'''正'''</span><span style="color: green;">'''負'''</span>得<span style="color: blue;">'''負'''</span> || style="background-color: #ffe7e7;" | ''a'' <span style="color: red;">'''+'''</span> (<span style="color: green;">'''−'''</span>''b'') = ''a'' <span style="color: blue;">'''−'''</span> ''b'' || style="background-color: #ffffe7;" | － || style="color: red; background-color: #e7ffe7;" | 正 || style="color: green; background-color: #e7ffe7;" | 負 || style="color: blue; background-color: #e7ffe7;" | 負|| style="color: red; background-color: #e7e7ff;" | 正 || style="color: green; background-color: #e7e7ff;" | 負 || style="color: blue; background-color: #e7e7ff;" | 負
|-
| <span style="color: red;">'''負'''</span><span style="color: green;">'''正'''</span>得<span style="color: blue;">'''負'''</span> || style="background-color: #ffe7e7;" | － || style="background-color: #ffffe7;" | ''a'' <span style="color: red;">'''−'''</span> (<span style="color: green;">'''+'''</span>''b'') = ''a'' <span style="color: blue;">'''−'''</span> ''b'' || style="color: red; background-color: #e7ffe7;" | 負 || style="color: green; background-color: #e7ffe7;" | 正 || style="color: blue; background-color: #e7ffe7;" | 負|| style="color: red; background-color: #e7e7ff;" | 負 || style="color: green; background-color: #e7e7ff;" | 正 || style="color: blue; background-color: #e7e7ff;" | 負
|-
| <span style="color: red;">'''負'''</span><span style="color: green;">'''負'''</span>得<span style="color: blue;">'''正'''</span> || style="background-color: #ffe7e7;" | － || style="background-color: #ffffe7;" | ''a'' <span style="color: red;">'''−'''</span> (<span style="color: green;">'''−'''</span>''b'') = ''a'' <span style="color: blue;">'''+'''</span> ''b'' || style="color: red; background-color: #e7ffe7;" | 負 || style="color: green; background-color: #e7ffe7;" | 負 || style="color: blue; background-color: #e7ffe7;" | 正|| style="color: red; background-color: #e7e7ff;" | 負 || style="color: green; background-color: #e7e7ff;" | 負 || style="color: blue; background-color: #e7e7ff;" | 正
|}

{| class="wikitable" align="center" style="text-align: center;"
|+ 負數四則運算口訣簡單版
|- style="color: white; background-color: dodgerblue; font-weight: bold;"
|兩個符號一樣||兩個符號不同
|-
|得正||得負
|}

----
=== 加法 ===
[[加]]上一个负数相当于[[减]]去其[[相反數]]：

:<math> 6 + ({\color{Violet}-3}) = 6 - {\color{Orange}3} = 3 \,</math> 
:<math> -2 + ({\color{Violet}-5}) = -2 - {\color{Orange}5} = -7 \,</math>

=== 减法 ===
一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：
:<math> 6 - 3 = 3 \,</math> 
:<math> 4 - 6 = -2 \,</math> 
:<math> 0 - 5 = -5 \,</math>

任意负数减去一个正数总得到一个负数：

:<math> -6 - 3 = - (6 + 3) = -9 \,</math> 

减去一个负数相当于加上相应的正数：

:<math> 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \,</math> 
:<math> (-6) - (-3) = -(6 - 3) = -3 \,</math>

=== 乘法 ===
一个负数和一个正数相[[乘]]得到一个负数：<math>(-2)\times 3=-6</math>。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复：<math>(-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6</math>。

两个负数相乘得到一个正数：<math>(-3)\times(-4)=12</math>。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足[[分配律]]： 
:<math> \bigg[3 + (-3)\bigg] \times (-4) = 3 \times (-4) + (-3) \times (-4). \,</math> 

等式的左边为<math>0\times(-4)=0</math>。等式的右边为<math>-12+(-3)\times(-4)</math>。为了使两边相等，必须要<math>(-3)\times(-4)=12</math>。

=== 除法 ===
[[除法]]和乘法类似。若[[被除数]]和[[除数]]有不同的符号，结果是一个负数：
:<math> \; 8 \;\div\; (-2) = -4 \,</math>
:<math> (-10) \;\div\; 2 = -5 \,</math>

若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：
:<math> (-6) \;\div\; (-3) = 6 \;\div\;3=2 \,</math>

== 参见 ==
* [[实数]]
* [[超實數 (非標準分析)|超实数]]（Hyperreal number）
* [[超現實數]]（Surreal Numbers）
* [[負整數]]
* [[科学计数法]]

== 參考資料及註釋 ==
<references />

[[Category:中国数学发现]]
[[Category:四则运算]]
[[Category:数]]