查看“︁负二项分布”︁的源代码

{{NoteTA
|T=zh-tw:負二項式分布;zh-cn:负二项分布
|G1=Math|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數|2=zh-hant:負二項分布;zh-tw:負二項式分布;zh-cn:负二项分布
|3= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}
{{機率分佈
| intro      = 不同來源對负二项分布的定義略有差異：隨機變量的最小可能取值可能是<math>k = 0</math>（僅計失敗的次數，或反之），亦可能是<math>k = r</math>（總次數，不論成敗）；參數<math>p</math>可能表示每次試驗成功的概率，也可能表示失敗的概率；試驗的終止條件可能是成功<math>r</math>次或失敗<math>r</math>次。<ref name="DeGrootNB">{{cite book|last = DeGroot| first = Morris H.| author-link = Morris H. DeGroot| title = Probability and Statistics| edition = Second| year = 1986| publisher = Addison-Wesley| isbn = 0-201-11366-X| oclc = 10605205| lccn = 84006269 |pages = 258–259}}</ref>
| name =负二项分布
|type =質量
|pdf_image =[[File:Negbinomial.gif|250px]]
*紅線是[[平均值]]
*綠線是[[標準差]]
|cdf_image =
|parameters =<math>r > 0\!</math> ([[實數|實]])<br /><math>0<p<1\!</math>（實）
|support =<math>k \in \{0,1,2,\ldots\}\!</math>
|pdf =<math>\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!</math>
|cdf =<math>I_p(r,k+1)</math>
|mean =<math>r\,\frac{1-p}{p}\!</math>
|median =
|mode =<math>\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1</math><br /><math>0\text{ if }r\leq 1</math>
|variance =<math>r\,\frac{1-p}{p^2}\!</math>
|skewness =<math>\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!</math>
|kurtosis =<math>\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!</math>
|entropy =
|mgf =<math>\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!</math>
|char =<math>\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!</math>
}}

'''負二項分布'''（Negative binomial distribution）是[[統計學]]上一種描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数达到指定次数（记为<math>r</math>）时失败次数的[[離散概率分布]]。比如，如果我们定义掷骰子随机变量<math>x</math>值为<math>x=1</math>时成功，所有<math>x\neq 1</math>为失败，这时我们反复掷骰子直到1出现3次（成功次数<math>r=3</math>），此时非1数字出现次数的概率分布即为负二项分布。

[[帕斯卡分布]]（'''Pascal distribution，'''来自[[布莱兹·帕斯卡]] (Blaise Pascal)）和[[波利亚分布]]（'''Polya distribution'''，又称罐子模型，来自[[喬治·波利亞]] (George Pólya)）均是负二项分布的特例。在工程、气候等领域中经常用“负二项分布”或“帕斯卡分布”来描述变量<math>r</math>为整数的情况，而使用“波利亚分布”来描述<math>r</math>取到实数值<math>R</math>的情况。

对于“相关的离散事件”（"associated discrete events"）的发生，例如龙卷风爆发，相比于[[泊松分布]]，波利亚分布由于允许其[[平均值]]和[[方差]]不同，而能够给出更精确的模型。在流行病学中，它已被用于模拟传染病的疾病传播，其中可能的继发感染数量可能因个体和环境而异<ref>e.g. J.O. Lloyd-Smith, S.J. Schreiber, P.E. Kopp, and W.M. Getz (2005), [https://www.nature.com/articles/nature04153 Superspreading and the effect of individual variation on disease emergence], ''[[Nature (journal)|Nature]]'', '''438''', 355–359. {{doi|10.1038/nature04153}}<br />The overdispersion parameter is usually denoted by the letter <math>k</math> in epidemiology, rather than <math>r</math> as here.</ref>。  更一般地说，由于正[[协方差]]项，事件具有正相关的事件导致比独立事件更大的[[方差]]可能是合适的。

“负二项分布”与“二项分布”的区别在于：“二项分布”是固定试验总次数<math>N</math>的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到r次成功时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。

术语“负二项式”可能是因为出现在分布的[[概率质量函数]]公式中的某个[[二项式系数]]可以用负数更简单地写出<ref>{{cite book |last1=Casella |first1=George |last2=Berger |first2=Roger L. |title=Statistical inference |year=2002 |url=https://archive.org/details/statisticalinfer00case_045|url-access=limited |publisher=Thomson Learning |isbn=0-534-24312-6 |page=[https://archive.org/details/statisticalinfer00case_045/page/n59 95] |edition=2nd}}</ref>。

==定义==
若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为<math>p</math>，失败的概率为<math>1-p</math>。反复进行该伯努利试验，直到观察到第<math>r</math>次成功发生。此时试验失败次数''<math>
    X
  </math>''的分布即为负二项分布（或称帕斯卡分布），那么：

: '''若随机变量<math>\mathit{X}</math>服从参数为<math>\mathit{r}</math>和<math>\mathit{p}</math>的负二项分布，则记为<math>X \sim NB(r,p)</math>.'''

在实际生活中，我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前，能够工作的天数的分布。此时，“成功”的事件可以指机器正常工作一天，“失败”的事件可以指机器故障的一天。如果我们使用负二项分布来描述运动员在获取r个奖牌前尝试的次数的分布，此时，“失败”的事件指运动员的一次尝试，“成功”的事件指运动员获取一枚奖牌。如果使用负二项分布来描述掷一枚硬币出现r次正面前，出现硬币反面的次数的分布，“成功”的事件指出现硬币的正面，“失败”的事件指出现硬币的反面。

==概率质量函数==

=== 帕斯卡分布 ===
當 <math>r</math> 是整數時的負二項分布又稱'''帕斯卡分布'''，其[[概率質量函數]]為：

<math>
    f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r(1-p)^k 
\quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc
  </math>

其中 <math>k</math> 是失败的次数， <math>r</math> 是成功的次数， <math>p</math> 是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中，由于 <math>k+r</math> 次伯努利试验为独立同分布，每个成功 <math>r</math> 次、失败 <math>k</math> 次的事件的概率为<math>p^r(1-p)^k</math>。由于第 <math>r</math> 次成功一定是最后一次试验，所以应该在<math>k+r-1</math>次试验中选择<math>r-1</math>次成功，使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

==== 二项系数与负二项名称来源 ====
括号中为[[二項式係數|二项式系数]]表达式：

: <math>
    \binom{k+r-1}{r-1} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}
  </math>

该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式，如下式所示，解释了“负二项”名称的来源：

: <math>
\begin{align}
& \frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} \\[6pt]
= {}& (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}.
\end{align}
</math>

==== 概率质量函数对所有可能k值求和为1 ====
帕斯卡分布概率质量函数<math>f(k;r,p)</math>对所有可能 <math>k</math> 值求和，一定等于1：

<math>
\sum_{k=0}^\infty \binom{k+r-1}{k}p^r q^k = 1 

</math>

证明如下：

<math>
1= p^r p^{-r}
 = p^r(1-q)^{-r}
 = p^r\sum_{k=0}^\infty\binom{-r}{k}(-q)^k
 = p^r\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{-r}{k}q^k
 = \sum_{k=0}^\infty \binom{k+r-1}{k}p^r q^k 

</math>

其中第三步用到了[[二项序列]]展开。

=== 几何分布 ===
取<math>r=1</math>，負二項分布等於[[幾何分布]]。其概率質量函數為<math>f(k;1,p) =  p \cdot (1-p)^k \!</math>。

===例子===
舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是<math>\frac{1}{6}</math>。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為<math>(\frac{1}{6})^3</math>。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的機率為<math>{3 \choose 3-1}\left({5\over6}\right)\left({1\over6}\right)^2</math>。第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的機率再乘<math>\frac{1}{6}</math>：<math>{(1+3)-1 \choose 3-1}\left({1\over6}\right)^3 \left({5\over6}\right)</math>。

== 相关分布 ==
[[几何分布]]（在 { 0, 1, 2, 3, ... } 上）是负二项分布的一个特例，其中
::<math>\operatorname{Geom}(p) = \operatorname{NB}(1,\, 1-p).\,</math>

* 负二项分布是{{le|离散相型分布|Discrete phase-type distribution}}的一个特例。
* 负二项分布是离散[[复合泊松分布]]的一个特例。

==參見==
*[[二項式分布]]
*[[幾何分布]]

==参考文献==
{{reflist}}

{{-}}
{{概率分布类型列表|負二項分布}}

[[Category:离散分布]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]