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'''贝特朗判别法'''（{{lang-en|Bertrand's test}}）是正项级数[[审敛法|敛散性的一种判别方法]]，分析通过级数项作成的形如<math>\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)\ln{n}</math>序列的极限，可以更为精细地讨论级数的收敛性，可以看作[[达朗贝尔判别法]]、[[拉阿伯判别法]]或{{link-en|库默尔判别法|Ratio test#5. Kummer’s test|库默尔判别法}}的推论。
{{无穷级数}}

==定理==
设<math> \sum_{n=1}^\infty a_n </math>是欲判断敛散性的级数，定义序列

<math>\mathcal{B}_n=\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right)\ln n.</math>

设它具有极限
<math>\lim_{n\to\infty}{\mathcal{B}_n}=\mathcal{B}</math>

那么：

* 倘若<math>\mathcal{B}>1</math>，级数收敛；
* 倘若<math>\mathcal{B}<1</math>，级数发散；
* 倘若<math>\mathcal{B}=1</math>，则级数的敛散性暂时不能确定<ref>{{cite book |author=Г. М. 菲赫金哥尔茨 |title=微积分学教程（第二卷）（第8版）|edition=第二版|date=2006|page=230|isbn=978-7-04-018304-7}}</ref>。

==证明==
在{{link-en|库默尔判别法|Ratio test#5. Kummer’s test|库默尔判别法}}中取<math>c_n=n\ln n(n\ge2)</math>，这样的选取是可以允许的，因为级数<math>\sum\frac1{n\ln n}</math>发散。

在这情形下有<math>\mathcal{K}_{n}=n \ln n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-(n+1) \ln (n+1)</math>。

也可以表示成<math>\mathcal{K}_{n}=\ln n\left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)-1\right]-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\mathcal{B}_{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math>。

其中<math>\mathcal{B}_{n}=\ln n\left[n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)-1\right]=\ln n \cdot\left(\mathcal{R}_{n}-1\right)</math>，这就得到了贝特朗判别法。

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

[[Category:数学分析]]
[[Category:級數]]