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'''贝特公式'''描述了<ref>H. Bethe und J. Ashkin in "Experimental Nuclear Physics, ed. </ref> [[帶電粒子|带电粒子]]([[質子|质子]]，[[Α粒子|<math>\alpha </math>粒子]]，[[离子]])穿越介质单位距离时的平均能损，即材料的阻止本领。 对于电子来说，其能损稍有不同，主要是由于其质量较小(要求相对论更正)以及其[[全同粒子|全同性]]，并且由于电子的[[轫致辐射]]损失能量较多，因此也需要将这一项考虑在内。快速的带电粒子穿过材料时，与材料中原子的电子发生相互作用，从而激发或者电离材料原子，这一相互作用导致粒子的能量损失。

[[相对论|非相对论]]的贝特公式由[[汉斯·贝特|汉斯·贝特]]在1930年发现，而相对论版(见下文)由他在1932年发现<ref name="Sigmund">Sigmund, Peter ''Particle Penetration and Radiation Effects. ''</ref>。注意平均能损不同于[[最可几]]能损，后者由郎道-瓦维洛夫理论描述。<ref>H. Bichsel, Rev. </ref>

贝特公式有时被称为贝特-布洛赫公式，但这是一种误导(见下文)。

== 公式内容 ==
速度为<math>v</math>，电荷数为''<math>z</math>''(整数，单位为[[基本电荷]])，能量为''<math>E</math>''的带电粒子，在电子数密度为''<math>n</math>''，平均激发能为''<math>I</math>''的材料中穿越距离''<math>x</math>时''，在[[国际单位制]]中，相对论版的贝特公式为：<ref name="Sigmund">Sigmund, Peter ''Particle Penetration and Radiation Effects. ''</ref>{{NumBlk|:|<math>- \left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = \frac{4 \pi}{m_e c^2} \cdot \frac{nz^2}{\beta^2} \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]</math>|{{EquationRef|1}}}}其中''c'' 是[[光速]]，''<math>\varepsilon_0</math>''为[[真空电容率|真空介电常数]]， <math> \beta = \frac{v}{c} </math>， ''<math>e</math>'' 和 ''<math>m_e</math>''为基本电荷和电子的静质量。
[[File:StoppingHinAlBethe.png|右|450x450像素|停电的铝用于质子和质子能，以及贝特的公式，而(红色)和更正(蓝色)]]
材料的电子数密度''<math>n</math>''可以通过下面公式来计算：

: <math>n=\frac{N_{A}\cdot Z\cdot\rho}{A\cdot M_{u}}\,,</math>

其中 ''<math>\rho</math>'' 是材料的密度， ''<math>Z</math>'' 是材料的[[原子序数]]，''<math>A</math>'' 是[[Relative atomic mass|相对原子质量]]，''<math>N_A</math>'' 是[[阿伏伽德罗常数]]，''<math>M_u</math>'' 为[[Molar mass constant|摩尔质量常数]]。

在右图中，黑色圆圈是不同作者给出的实验测量结果，红色曲线是未修正的贝特公式。<ref>{{Cite web|url=http://www.exphys.jku.at/Stopping/|title=Stopping Power for Light and Heavier Ions|accessdate=2015-11-01|date=2015-04-15|archive-date=2012-02-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20120206072234/http://www.exphys.jku.at/Stopping/|dead-url=no}}</ref> 显然，贝特公式在高能区很好地符合了实验结果。 当添加了一些修正项后，贝特公式符合得更好(图中的蓝色曲线，见下文)。

对于低能带电粒子，即相对速度 ''<math>\beta\ll 1</math>''，贝特公式简化为{{NumBlk|:|<math>- \left\langle\frac{dE}{dx}\right\rangle = \frac{4 \pi nz^2}{m_e v^2}  
\cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2
\cdot \left[\ln \left(\frac{2m_e v^2 }{I}\right)\right].</math>|{{EquationRef|2}}}}这可以从 (1)式中将'' <math> \beta c </math> ''由'' <math> v </math> ''替代，并忽略其余'' <math> \beta^2 </math> ''项得到。

在低能区，根据贝特公式，粒子的能损随'' <math>v^2</math> ''的增加而降低，并在'' <math>E = 3Mc^2</math> ''达到最小值，其中 ''<math>M</math>'' 是粒子的质量(对于质子来说，该极值点约为3000 MeV)。 在极端[[相对论|相对论的]]情况下，''<math>\beta\approx 1</math>''，粒子的能损对数增加，这主要是由于电场的横向分量造成的。

== 参考文献 ==
<references />

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[[Category:原子核物理学]]