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'''贝尔纲定理'''（{{lang-en|Baire category theorem}}，{{lang|en|BCT}}）是[[点集拓扑学]]和[[泛函分析]]中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了[[拓扑空间]]是[[贝尔空间]]的[[充分条件]]。

该定理由[[勒内-路易·贝尔]]在他1899年的博士论文中证明。<ref>R. Baire. [http://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ Sur les fonctions de variables réelles.] {{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ |date=20140103124053 }} Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.</ref>

==定理的陈述==

一个[[贝尔空间]]是一个拓扑空间，具有以下性质：对于任意可数个[[开集|开]][[稠密集]]''U<sub>n</sub>''，它们的交集∩&nbsp;''U<sub>n</sub>''都是稠密的。

*（'''BCT1'''）每一个[[完备度量空间]]都是贝尔空间。更一般地，每一个[[同胚]]于某个[[完备空间|完备]][[伪度量空间]]的[[开集|开子集]]的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个[[完备可度量化]]的拓扑空间都是贝尔空间。
*（'''BCT2'''）每一个[[局部紧]][[豪斯多夫空间]]都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述；[[有限交集性质]]取得了完备性扮演的角色。

注意从以上任何一个命题都不能推出另一个，因为存在一个不是局部紧的完备度量空间（带有定义如下的度量的[[无理数]]），也存在一个不[[可度量化空间|可度量化]]的局部紧豪斯多夫空间（不可数[[福特空间]]）。参见以下文献中的[[拓扑学中的反例|Steen and Seebach]]。

*（'''BCT3'''）一个非空的完备度量空间'''不是'''可数个[[无处稠密集]]（也就是闭包具有稠密补集的集合）的并集。

这个表述是BCT1的一个结果，有时更加有用。另外，如果一个非空的完备度量空间是可数个闭集的并集，那么其中一个闭集具有非空的内部。

==与选择公理的关系==
'''BCT1'''和'''BCT2'''的证明需要[[选择公理]]的某种形式；实际上，BCT1与选择公理的一个较弱的版本——[[依賴選擇公理]]等价。<ref>{{Cite web |url=http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/excerpts/equivdc.gif |title=存档副本 |accessdate=2009-04-24 |archive-date=2009-09-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090912103933/http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/excerpts/equivdc.gif |dead-url=no }}</ref>

==定理的应用==
'''BCT1'''可以用来证明[[开映射定理]]、[[闭图像定理]]和[[一致有界原理]]。

'''BCT1'''也表明每一个没有[[孤立点]]的完备度量空间都是[[不可数集|不可数]]的。（如果''X''是一个可数的完备度量空间且没有孤立点，那么在''X''中每一个[[单元素集合]]都是[[无处稠密]]的，因此''X''在它本身内是[[第一纲]]）。特别地，这证明了所有[[实数]]所组成的集合是不可数的。

'''BCT1'''表明以下每一个都是贝尔空间：
* [[实数]]空间'''R'''；
* 无理数，其度量定义为''d''(''x'', ''y'') = 1 / (''n'' + 1)，其中''n''是使''x''和''y''的[[连分数]]展开式不同的第一个指标（这是一个完备度量空间）；
* [[康托尔集]]。

根据'''BCT2'''，每一个[[流形]]都是贝尔空间，因为它是局部紧空间，也是豪斯多夫空间。这甚至对非仿紧（因此不可度量化）的流形如[[长直线]]也是成立的。

==证明==
以下是完备度量空间<math>X</math>是贝尔空间的一个标准的证明。

设<math>U_n</math>为一个开稠密子集的集合。我们希望证明交集<math>\bigcap U_n</math>是稠密的。一个子集 <math>A</math> 是稠密的当且仅当空间中任意一个非空的开集都与 <math>A</math> 相交。为此，我们只需证明 <math>X</math> 的任意非空开子集 <math>W</math> 有一个点 <math>x</math>，<math>x</math> 包含于所有的 <math>U_n</math> 中。为此，设<math>W \subset X</math>为一个开子集。根据稠密性，存在<math>x_1</math>和<math>r_1 > 0</math>，使得：
:<math>\overline{B}(x_1, r_1) \subset W \cap U_1</math>。
递归地，我们求出<math>x_n</math>和<math>r_n > 0</math>，使得：
:<math>\overline{B}(x_n, r_n) \subset B(x_{n-1}, r_{n-1}) \cap U_n</math>而且<math>r_n < n^{-1}</math>。
由于当<math>n > m</math>时，<math>x_n \in B(x_m, r_m)</math>，因此<math>x_n</math>是[[柯西序列]]，且<math>x_n</math>收敛于某个极限<math>x</math>。对于任何<math>n</math>，根据封闭性，有：
:<math>x \in \overline{B}(x_{n+1}, r_{n+1}) \subset B(x_n, r_n)</math>。
因此，对于所有<math>n</math>，都有<math>x \in W</math>且<math>x \in U_n</math>。<math>\square</math>

==註釋==
{{reflist}}
==參考文獻==
{{refbegin}}
*R. Baire. [http://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ Sur les fonctions de variables réelles.]{{Wayback|url=http://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ |date=20140103124053 }} Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
* Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", ''Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.'', v. 25 n. 10, pp.&nbsp;933–934.
* [[Azriel Levy|Levy, Azriel]] (1979), ''Basic Set Theory''. Reprinted by Dover, 2002.  ISBN 0-486-42079-5
*Schechter, Eric, ''Handbook of Analysis and its Foundations'', Academic Press, ISBN 0-12-622760-8
*[[Lynn Steen|Lynn Arthur Steen]] and [[J. Arthur Seebach, Jr.]], ''[[Counterexamples in Topology]]'', Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
{{refend}}

{{点集拓扑}}
{{泛函分析}}
{{泛函分析定理}}

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[[Category:泛函分析]]
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[[Category:拓撲學理論]]