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'''貝爾數'''（{{lang-en|Bell number}}）是[[組合數學]]中的一組[[整數]][[數列]]，以[[埃里克·坦普尔·贝尔]]命名，首幾個貝爾數為：[[File:Bell Number.png|thumb|Bell  Number]]
:<math>B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots</math> {{OEIS|id=A000110}}

==性質==

<math>B_n</math>是[[基数 (数学)|基數]]為<math>n</math>的集合的[[集合劃分|劃分]]方法的數目。集合<math>S</math>的劃分是<math>S</math>的兩兩不相交的非空子集的[[集合族|族]]，它們的並是<math>S</math>。例如，<math>B_3 = 5</math>，因為有3個元素的集合<math>\{a,b,c\}</math>有5種不同的劃分方法：
。
:<math>\{\{a\},\{b\},\{c\}\}</math>
:<math>\{\{a\},\{b,c\}\}</math>
:<math>\{\{b\},\{a,c\}\}</math>
:<math>\{\{c\},\{a,b\}\}</math>
:
:<math>\{a,b,c\}</math>;


:<math>B_0 = 1</math>因為空集正好有1種劃分方法。空集的每個成員都是非空集合（这是[[Vacuous truth]]，因为空集实际上没有成員），而它們的並是空集本身。所以空集是它的唯一劃分。

貝爾數滿足遞推公式：
:<math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}.</math>

上述组合公式的证明：

可以这样来想，<math>B_{n+1}</math>是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素<math>b_{n+1}.</math>

假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为<math>{n \choose n}B_{n}</math>；

假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 <math>{n \choose n-1}B_{n-1}</math>；

假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 <math>{n \choose n-2}B_{n-2}</math>；

依次类推，得到了上述组合公式


它們也適合「Dobinski公式」：
:<math>B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}</math>[[期望值]]為1的[[泊松分數]]的''n''次矩。

它們也適合「Touchard同餘」：若''p''是任意[[質數]]，那麼
:<math>B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p).</math>

每個貝爾數都是"第二類[[Stirling數]]"的和
:<math>B_n=\sum_{k=0}^n S(n,k).</math>
Stirling數''S''（''n'', ''k''）是把基數為''n''的集劃分為正好''k''個非空集的方法的數目。

把任一[[概率分佈]]的''n''次[[動差|矩]]以首''n''個[[累積量]]表示的多項式，其係數和正是第''n''個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。

貝爾數的[[母函數|指數母函數]]是

:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</math>

==貝爾三角形==
用以下方法建構一個三角矩陣（形式類似[[楊輝三角形]]）：
* 第一行第一項是1（<math>a_{1,1} = 1</math>）
* 對於''n''>1，第n行第一項等同第n-1行最後一項。（<math>a_{n,1} = a_{n-1,n-1}</math>）
* 對於''m'',''n''>1，第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。（<math>a_{n,m} = a_{n,m-1} + a_{n-1,m-1}</math>）
結果如下：（[[OEIS:A011971]]）

: <math>\begin{array}{cccccccccccccccccc}
1 \\
1&&&& 2&&&&\\
2&&&& 3&&&& 5&&&&\\
5&&&& 7&&&& 10&&&& 15&&&&\\
15&&&& 20&&&& 27&&&& 37&&&& 52&&&&\\
52&&&& 67&&&& 87&&&& 114&&&& 151&&&& 203&&&&\\
203&&&& 255&&&& 322&&&& 409&&&& 523&&&& 674&&&& 877&&&&\\
877&&&& 1080&&&& 1335&&&& 1657&&&& 2066&&&& 2589&&&& 3263&&&& 4140&&&&\\
\end{array}</math>

每行首項是貝爾數。每行之和是第二類[[Stirling數]]。

這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。

==參考==
* http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=9059
[[Category:整数数列|Bell]]