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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Drum-2nd-bessel.JPG|thumb|250px|right|'''图1''' 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。]]

'''贝塞尔函数'''（{{lang|en|Bessel functions}}），是数学上的一类[[特殊函数]]的总称。通常单说的'''贝塞尔函数'''指'''[[#第一类贝塞尔函数|第一类贝塞尔函数]]'''（{{lang|en|Bessel function of the first kind}}）。一般贝塞尔函数是下列[[常微分方程]]（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数<math>y(x)</math>：

:<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math>

该方程的通解无法用[[初等函数]]表示。

由於贝塞尔微分方程是二階[[常微分方程]]，需要由兩個獨立的函數來表示其标准解函数。典型的是使用[[#第一类贝塞尔函数|第一类贝塞尔函数]]和[[#第二类贝塞尔函数|第二类贝塞尔函数]]來表示标准解函数：

:<math>y(x)=c_1 J_\alpha(x) + c_2 Y_\alpha(x)</math>

注意，由於 <math>Y_\alpha(x)</math> 在 x=0 時候是[[發散]]的（[[無窮]]），當取 x=0 時，相關係數 <math>c_2</math> 必須為0時，才能獲得有物理意義的結果。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或複數α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的<U>'''阶数'''</U>）。实际应用中最常见的情形为α是[[整数]]''n''，对应解称为'''''n'' 阶贝塞尔函数'''。

尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。

贝塞尔函數也被稱為'''[[柱諧函數]]'''、'''圓柱函數'''或'''圓柱諧波'''，因為他們是於[[拉普拉斯方程]]在[[圓柱坐標]]上的求解過程中被發現的。

== 历史 ==
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由[[瑞士]][[数学家]][[丹尼尔·伯努利]]在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。[[丹尼尔·伯努利|丹尼尔]]的叔叔[[雅各布·伯努利]]，[[萊昂哈德·歐拉|欧拉]]、[[约瑟夫·拉格朗日|拉格朗日]]等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，[[德国]]数学家[[弗里德里希·威廉·贝塞尔|贝塞尔]]在研究[[约翰内斯·开普勒|开普勒]]提出的三体[[万有引力|引力]]系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数 [https://web.archive.org/web/20060626140343/http://www.britannica.com/eb/article-9078932] [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bessel.html]{{Wayback|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bessel.html |date=20060505012514 }}。

== 现实背景和应用范围 ==

贝塞尔方程是在[[圓柱坐標系|圆柱坐标]]或[[球坐標系|球坐标]]下使用[[分离变量法]]求解[[拉普拉斯方程]]和[[亥姆霍兹方程]]时得到的（在圆柱域问题中得到的是<U>整阶</U>形式 α = ''n''；在球形域问题中得到的是<U>半奇数阶</U>形式 α = ''n''+&frac12;），因此贝塞尔函数在[[波的传播]]问题以及各种涉及<U>有势场</U>的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

* 在圆柱形[[波导]]中的[[电磁波]]传播问题；
* 圆柱体中的[[热传导]]问题；
* 圆形（或环形）[[薄膜]]的[[振动]]模态分析问题；

在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在ttf字体文件压缩，[[信号处理]]中的{{le|调频合成|Frequency modulation synthesis}}或[[凯泽窗]]的定义中，都要用到贝塞尔函数。

== 定义 ==
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个[[矢量|线性无关]]的解。针对各种具体情况，人们提出了表示这些解的不同形式。下面分别介绍这些不同类型的贝塞尔函数。

=== 第一类贝塞尔函数 ===
[[File:BesselJ_plot.svg|right|thumb|400px|'''图2''' 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线]]

'''第一类贝塞尔函数'''（{{lang|en|Bessel function of the first kind}}），又称'''贝塞尔函数'''（{{lang|en|Bessel function}}），下文中有时会简称为'''J函数'''，記作''J''<sub>''&alpha;''</sub>。

第一类α阶贝塞尔函数''J''<sub>α</sub>(''x'')是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在''x'' = 0 时有限。这样选取和处理''J''<sub>α</sub>的原因见本主题下面的[[贝塞尔函数#性质|性质介绍]]；另一种定义方法是通过它在''x'' = 0 点的[[泰勒级数]]展开（或者更一般地通过[[幂级数]]展开，这适用于α为非整数）：

:<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>

上式中<math>\Gamma(z)</math>为[[Γ函数]]（它可视为[[階乘|阶乘]]函数向非整型[[因变量和自变量|自变量]]的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按<math>1/\sqrt x </math>速率衰减的[[正弦]]或[[三角函数|余弦]]函数类似（参见本页下面对它们渐近形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数<math>J_\alpha (x)</math>的曲线（<math>\alpha = 0, 1, 2</math>）。

如果α不为整数，则<math>J_\alpha (x)</math>和<math>J_{-\alpha} (x)</math>线性无关，可以构成微分方程的一个'''解系'''。反之若<math>\alpha</math>是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：

:<math>J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,</math>

于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与<math>J_\alpha (x)</math>线性无关的另一解，需要定义'''第二类贝塞尔函数'''，定义过程将在后面的小节中给出。

==== 贝塞尔积分 ====
<math>\alpha</math>为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：

:<math>J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \cos (\alpha \tau - x \sin \tau) d\tau.</math>

（<math>\alpha</math>为任意实数时的表达式见[[贝塞尔函数#参考文献|参考文献[2]]]第360页）

这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为：

:<math>J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)} d\tau</math>

==== 和超几何级数的关系 ====
贝塞尔函数可以用[[超几何级数]]表示成下面的形式： 
:<math>J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  \;_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).</math>

ɑ為整數。由於函數線性相關的特性(用了一個就少了一個，所以要再構造一個)，才需定義如下詳細介紹的第二類貝塞爾函數。

=== 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数） ===
[[File:BesselY_plot.svg|right|thumb|400px|'''图3''' 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔''Y'' 函数）曲线图]]

'''第二类贝塞尔函数'''（{{lang|en|Bessel function of the second kind}}），又称'''诺伊曼函数'''（{{lang|en|Neumann function}}），下文中有时会简称为'''Y函数'''，記作''Y''<sub>''&alpha;''</sub>。

第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。
这种函数通常用''Y''<sub>α</sub>(''x'')表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。''x'' = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。

''Y''<sub>α</sub>(''x'')又被称为'''诺依曼函数'''（Neumann function），有时也记作''N''<sub>α</sub>(''x'')。它和''J''<sub>α</sub>(''x'')存在如下关系：

:<math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},</math>

若α为整数（此时上式是<math>\frac{0}{0}</math>型[[未定式]]）则取右端的[[函數極限|极限]]值。

从前面对''J''<sub>α</sub>(''x'')的定义可以知道，若α不为整数时，定义''Y''<sub>α</sub>是多余的（因为贝塞尔方程的两个线性无关解都已经用J函数表示出来了）。另一方面，若α为整数，''Y''<sub>''α''</sub>便可以和''J''<sub>''α''</sub>构成贝塞尔方程的一个解系。与J函数类似，Y函数正负整数阶之间也存在如下关系：

:<math>Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\,</math>

''J''<sub>α</sub>(''x'')和''Y''<sub>α</sub>(''x'')均为沿负实半轴割开的[[复平面]]内关于''x''的[[全纯函数]]。当α为整数时，复平面内不存在贝塞尔函数的[[支点]]，所以''J'' 和''Y'' 均为''x'' 的[[整函数]]。若将''x'' 固定，则贝塞尔函数是α的整函数。图3所示为0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数<math>Y_\alpha (x)</math>的曲线（<math>\alpha = 0, 1, 2</math>）：

=== 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数） ===

'''第三类贝塞尔函数'''（{{lang|en|Bessel function of the third kind}}），又称'''汉克尔函数'''（{{lang|en|Hankel function}}）。

贝塞尔方程的另外一对重要的线性无关解称为'''[[赫尔曼·汉克尔|汉克尔]]函数'''（Hankel functions）''H''<sub>α</sub><sup>(1)</sup>(''x'')和''H''<sub>α</sub><sup>(2)</sup>(''x'')，分别定义为：

:<math>H_\alpha^{(1)}(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x)</math>

:<math>H_\alpha^{(2)}(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x)</math>

其中''i'' 为[[虚数]]单位<math>\sqrt { - 1}</math>。以上的线性组合也成为'''第三类贝塞尔函数'''；它们描述了二维[[波动方程]]的<U>外向行柱面波</U>解和<U>内向行柱面波</U>解（"行"与在"行动"中同音）。

利用前面推出的关系可将汉克尔函数表示成：

:<math>H_{\alpha}^{(1)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{-\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{i \sin (\alpha \pi)}</math>

:<math>H_{\alpha}^{(2)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{- i \sin (\alpha \pi)}</math>

若α为整数，则须对等号右边取极限值。另外，无论α是不是整数，下面的关系都成立：

:<math>H_{-\alpha}^{(1)} (x)= e^{\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(1)} (x) </math>

:<math>H_{-\alpha}^{(2)} (x)= e^{-\alpha \pi i} H_{\alpha}^{(2)} (x) </math>

=== 修正贝塞尔函数 ===
贝塞尔函数当变量''x'' 为[[复数 (数学)|复数]]时同样成立，并且当''x'' 为纯[[虚数]]时能得到一类重要情形——它们被称为'''第一类修正贝塞尔函数'''（{{lang|en|modified Bessel function of the first kind}}）和'''第二类修正贝塞尔函数'''（{{lang|en|modified Bessel function of the second kind}}），或'''虚变量的贝塞尔函数'''（有时还称为'''双曲型贝塞尔函数'''），定义为：

:<math>I_\alpha(x) = i^{-\alpha} J_\alpha(ix) \!</math>

:<math>K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha} (x) - I_\alpha (x)}{\sin (\alpha \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(ix) \!</math>

以上形式保证了当变量''x'' 为[[实数]]时，函数值亦为实数。这两个函数构成了下列'''修正贝塞尔方程'''（与一般贝塞尔方程的差别仅在两个正负号）的一个相互线性无关的解系：

:<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0.</math>

修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于：一般贝塞尔函数随实变量是振荡型的，而修正贝塞尔函数''I''<sub>α</sub> 和''K''<sub>α</sub>则分别是[[指数增长]]和[[指数衰减]]型的。和第一类贝塞尔函数''J''<sub>α</sub>一样，函数''I''<sub>α</sub>当α > 0 时在''x''=0 点等于0，当α=0时在''x''=0 点趋于有限值。类似地，''K''<sub>α</sub>在''x''=0 点发散（趋于无穷）。

{| style="margin:auto;"
|-
| [[File:BesselI_plot.svg|none|thumb|270px|'''图4-1''' 第一类修正贝塞尔函数<math>I_\alpha (x)</math>对实自变量的曲线（<math>\alpha = 0, 1, 2</math>）]]
| [[File:BesselK_plot.svg|none|thumb|270px|'''图4-2''' 第二类修正贝塞尔函数<math>K_\alpha (x)</math>对实自变量的曲线（<math>\alpha = 0, 1, 2</math>）]] 
|}

<!-- <center>[[File:ModifiedBessel.png|Plot of some modified Bessel functions]]<br />Plot of six modified Bessel functions. In solid line ''K''<sub>0</sub>, ''K''<sub>1</sub>, and ''K''<sub>2</sub>. In dashed line : ''I''<sub>0</sub>, ''I''<sub>1</sub>, and ''I''<sub>2</sub>.</center> -->

''复数变量的贝塞尔函数之零值''：<math>J_\alpha (x) = 0</math>的解在α≥-1的情况下都是实数；阶数-2>α>-1的情况下，除了实数之外还有且仅有一对共轭的纯虚数解（G.N Watson [[贝塞尔函数#参考文献|参考文献[5]]]）。

第二类修正贝塞尔函数有时候被称为'''第三类修正贝塞尔函数'''（{{lang|en|modified Bessel function of the third kind}}）。

=== 球贝塞尔函数 ===

[[File:Spherical bessel j plot.svg|thumb|300px|right|'''图5-1''' 第一类球贝塞尔函数<math>j_n (x)</math>曲线（<math>n = 0, 1, 2</math>）]]
[[File:Spherical bessel y plot.svg|thumb|300px|right|'''图5-2''' 第二类球贝塞尔函数<math>y_n (x)</math>曲线（<math>n = 0, 1, 2</math>）]]

若使用[[分离变量法]]求解[[球坐標系|球坐标]]下的三维[[亥姆霍兹方程]]，则可得到如下形式关于径向（''r'' 方向）分量的[[常微分方程]]：

:<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.</math>

关于上述方程的一对线性无关解称为'''球贝塞尔函数'''，分别用''j''<sub>''n''</sub>和''y''<sub>''n''</sub>表示（有时也记为''n''<sub>''n''</sub>）。这两个函数与一般贝塞尔函数''J''<sub>''n''</sub>和''Y''<sub>''n''</sub> 存在关系：

:<math>j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),</math>

:<math>y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).</math>

球贝塞尔函数也可写成：
:<math>j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\sin x}{x} ,</math>
:<math>y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\cos x}{x}.</math>

0阶第一类球贝塞尔函数<math>j_0(x)</math>又称为[[sinc函数]]。头几阶整阶球贝塞尔函数的表达式分别为：

第一类：
:<math>j_0(x)=\frac{\sin x} {x}</math>
:<math>j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}</math>
:<math>j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}</math>

第二类：
:<math>y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}</math>
:<math>y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}</math>
:<math>y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2}.</math>

还可以依照前面构造汉克尔函数相同的步骤构造所谓'''球汉克尔函数'''：

:<math>h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x)</math>

:<math>h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x).</math>

事实上，所有半奇数阶贝塞尔函数都可以写成由[[三角函数]]组成的封闭形式的表达式，球贝塞尔函数也同样可以。特别地，对所有非负整数''n''，存在：

:<math>h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)!!}{(n-m)!!}</math>

而对实自变量''x''，''h''<sub>''n''</sub><sup>(2)</sup>是上面''h''<sub>''n''</sub><sup>(1)</sup>的复共轭（!! 表示'''双[[階乘|阶乘]]'''）。由此我们可以通过得到''h''，再分离实部虚部，求出相应阶''j'' 和''h'' 的表达式，譬如''j''<sub>0</sub>(''x'') = sin(''x'')/''x''，''y''<sub>0</sub>(''x'') = -cos(''x'')/''x''，等等。

球贝塞尔函数的生成函数为：

:<math>\frac{1}{z} \cos (\sqrt{z^2 - 2zt}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} j_{n-1}(z),</math>
:<math>\frac{1}{z} \sin (\sqrt{z^2 - 2zt}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} y_{n-1}(z).</math>

=== {{anchor|Riccati–Bessel functions}}黎卡提-贝塞尔函数：{{math|''S<sub>n</sub>''}}, {{math|''C<sub>n</sub>''}}, {{math|''ξ<sub>n</sub>''}}, {{math|''ζ<sub>n</sub>''}} ===
黎卡提-贝塞尔函数（Riccati-Bessel functions）和球贝塞尔函数比较类似：

:<math>S_n(x)=x j_n(x)=\sqrt{\pi x/2}J_{n+1/2}(x)</math>

:<math>C_n(x)=-x y_n(x)=-\sqrt{\pi x/2}Y_{n+1/2}(x)</math>

:<math>\zeta_n(x)=x h_n^{(2)}(x)=\sqrt{\pi x/2}H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_n(x)+iC_n(x)</math>

该函数满足方程：

:<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0</math>

这个方程以及相应的<U>黎卡提-贝塞尔解</U>是[[德国]][[物理学家]][[古斯塔夫·米]]（[[w:Gustav Mie|Gustav Mie]]）于1908年研究[[电磁波]]在球状颗粒表面[[散射]]问题时提出的，后人将这种散射称为[[米氏散射]]（[[w:Mie theory|Mie scattering]]）。这个问题近几年的进展可参见文献 Du (2004)。

后人有时会遵从[[彼得·德拜|德拜]]（[[w:Peter Debye|Debye]]）在1909年的论文中的记法，用<math>\psi_n,\chi_n</math> 代替前面的<math>S_n,C_n</math>。

== 渐近形式 ==
贝塞尔函数在α非负时具有下面的渐近形式。当自变量''x'' 为小量，即<math>0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}</math>时，有：

:<math>J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha </math>

:<math>Y_\alpha(x) \rightarrow  \left\{ \begin{matrix}
  \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right]  & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0 
\end{matrix} \right.</math>

式中γ为[[歐拉-馬歇羅尼常數]]（也叫歐拉常數，等于 0.5772156649...），Γ为[[Γ函数]]。对于很大的''x''，即<math>x \gg |\alpha^2 - 1/4|</math>时，渐近形式为：

:<math>J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)</math> 

:<math>Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).</math>

（α=1/2 时渐近号两边严格相等；参见前面对球贝塞尔函数的介绍）。其他形式贝塞尔函数的渐近形式可以从上面的式子直接推得。譬如，对大自变量<math>x \gg |\alpha^2 - 1/4|</math>，修正贝塞尔函数的渐近形式为：

:<math>I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^x,</math>

:<math>K_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x}.</math>

对小自变量<math>0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}</math>：

:<math>I_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha </math>

:<math>K_\alpha(x) \rightarrow  \left\{ \begin{matrix}
  - \ln (x/2) - \gamma   & \mbox{if } \alpha=0 \\ \\
  \frac{\Gamma(\alpha)}{2} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{if } \alpha > 0 
\end{matrix} \right.</math>

== 性质 ==
整阶（α = ''n''）第一类贝塞尔函数''J''<sub>''n''</sub>常通过对其'''[[母函数]]'''（''generating function''）的[[罗朗级数]]（[[w:Laurent series|Laurent series]]）展开来定义：

:<math>e^{(x/2)(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n,</math>

上式得左边即为整阶第一类贝塞尔函数的母函数，这是[[丹麦]][[天文学家]][[w:Peter Andreas Hansen|汉森]]于1843年提出的。（这种定义也可以通过[[曲线积分|路径积分]]或其他方法推广到非整数阶）。整阶函数的另一个重要性质是下列'''雅可比-安格尔恒等式'''（''Jacobi-Anger identity''）：

:<math>e^{iz \cos \phi} = \sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(z) e^{in\phi},</math>

利用这一等式可以将[[平面波]]展开成一系列柱面波的叠加，或者将[[频率调制|调频]]信号分解成[[傅里叶级数]]的叠加。

函数''J''<sub>α</sub>、''Y''<sub>α</sub>、''H''<sub>α</sub><sup>(1)</sup>和''H''<sub>α</sub><sup>(2)</sup>均满足[[遞迴關係式|递推关系]]：

:<math>Z_{\alpha-1}(x) + Z_{\alpha+1}(x) = \frac{2\alpha}{x} Z_\alpha(x)</math>

:<math>Z_{\alpha-1}(x) - Z_{\alpha+1}(x) = 2\frac{dZ_\alpha}{dx}</math>

其中''Z''代表''J'', ''Y'', ''H''<sup>(1)</sup>或''H''<sup>(2)</sup>。（常将这两个恒等式联立推出其他关系）。从这组递推关系可以通过低阶贝塞尔函数（或它们的低阶[[导数]]）计算高阶贝塞尔函数（或它们的高阶[[导数]]）。特别地，有：

:<math>\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ x^\alpha Z_{\alpha} (x) \right] = x^{\alpha - m} Z_{\alpha - m} (x)</math>

:<math>\left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ \frac{Z_\alpha (x)}{x^\alpha} \right] = (-1)^m \frac{Z_{\alpha + m} (x)}{x^{\alpha + m}}</math>

由于贝塞尔方程对应的作用算符除以''x'' 后便是一个（[[自伴随]]的）[[自伴算子|厄米算符]]（[[w:Hermitian|Hermitian]]），所以它的解在适当的[[边界条件]]下须满足正交性关系。特别地，可推得：

:<math>\int_0^1 x J_\alpha(x u_{\alpha,m}) J_\alpha(x u_{\alpha,n}) dx = \frac{\delta_{m,n}}{2} J_{\alpha+1}(u_{\alpha,m})^2,</math>

其中α > -1，δ<sub>''m'',''n''</sub>为[[克罗内克函数|克罗内克δ]]，''u''<sub>α,m</sub>表示''J''<sub>α</sub>(''x'')的第''m'' 级[[零点]]。这个正交性关系可用于计算[[傅里叶-贝塞尔级数]]中各项的系数，以利用该级数将任意函数写成α固定、''m'' 变化的函数''J''<sub>α</sub>(''x'' ''u''<sub>α,m</sub>)的无穷叠加形式。（可以立即得到球贝塞尔函数相应的关系）。

另一个正交性关系是下列在α > -1/2时成立的“封闭方程”（''closure equation''）：

:<math>\int_0^\infty x J_\alpha(ux) J_\alpha(vx) dx = \frac{1}{u} \delta(u - v)</math>

其中δ为[[狄拉克δ函数]]。球贝塞尔函数的正交性条件为（当α > 0）：

:<math>\int_0^\infty x^2 j_\alpha(ux) j_\alpha(vx) dx = \frac{\pi}{2u^2} \delta(u - v)</math>

贝塞尔方程的另一个重要性质与其[[朗斯基行列式]]（[[w:Wronskian|Wronskian]]）相关，由[[阿贝尔恒等式]]（[[w:Abel's identity|Abel's identity]]）得到：

:<math>A_\alpha(x) \frac{dB_\alpha}{dx} - \frac{dA_\alpha}{dx} B_\alpha(x) = \frac{C_\alpha}{x},</math>

其中''A''<sub>α</sub> 和''B''<sub>α</sub>是贝塞尔方程的任意两个解，''C''<sub>α</sub>是与''x'' 无关的常数（由α和贝塞尔函数的种类决定）。譬如，若''A''<sub>α</sub> = ''J''<sub>α</sub>、''B''<sub>α</sub> = ''Y''<sub>α</sub>，则''C''<sub>α</sub> is 2/π。该性质在修正贝塞尔函数中同样适用，譬如，若''A''<sub>α</sub> = ''I''<sub>α</sub>、''B''<sub>α</sub> = ''K''<sub>α</sub>，则''C''<sub>α</sub>为-1。

== 參見 ==
* [[Hankel變換]]——以貝塞爾函數作展開。

== 参考文献 ==
* [1] 严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，第82页~第123页，ISBN 7-312-00799-6
* [2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'' (Dover: New York, 1972) （英文）
** [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_355.htm Chapter 9]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_355.htm |date=20060906123652 }} 整阶贝塞尔函数
***[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_358.htm Section 9.1]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_358.htm |date=20060118144752 }} J, Y （韦伯） and H （汉开尔）
***[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_374.htm Section 9.6]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_374.htm |date=20060118145402 }} 修正贝塞尔函数（I和K）
***[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_379.htm Section 9.9]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_379.htm |date=20060906074849 }} 开尔文函数
** [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_435.htm Chapter 10]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_435.htm |date=20060905231852 }} 分数阶贝塞尔函数
***[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_437.htm Section 10.1]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_437.htm |date=20060902103641 }} 球贝塞尔函数（j、y和h）
***[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_443.htm Section 10.2]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_443.htm |date=20060903055834 }} 修正球贝塞尔函数（I和K）
***[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_445.htm Section 10.3]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_445.htm |date=20060118161130 }} 黎卡提-贝塞尔函数
***[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_446.htm Section 10.4]{{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_446.htm |date=20060118161223 }} 艾里函数（Airy functions）
* [3] George B. Arfken and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'' (Harcourt: San Diego, 2001).
* [4] Frank Bowman, ''Introduction to Bessel Functions'' (Dover: New York, 1958) ISBN 0-486-60462-4.
* [5] G. N. Watson, ''A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition'', (1966) Cambridge University Press.
* [6] G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", ''Ann. Phys.  Leipzig''  '''25'''(1908), p.377.
* [7] Hong Du, "Mie-scattering calculation," ''Applied Optics'' '''43''' (9), 1951-1956 (2004).

== 外部链接 ==
* [http://www.efunda.com/math/bessel/bessel.cfm Engineering Fundamentals - Bessel Function]{{Wayback|url=http://www.efunda.com/math/bessel/bessel.cfm |date=20090302090702 }}

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