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{{noteTA|T=zh:質數階乘質數;zh-cn:素数阶乘素数;zh-tw:質數階乘質數;zh-hk:質數階乘質數;|1=zh:質數;zh-cn:素数;zh-tw:質數;zh-hk:質數;}}
'''質數階乘質數'''（又稱'''-{素}-數階乘-{質}-數'''或'''-{質}-數階乘-{素}-數'''）是和某个[[質數階乘]]相邻的[[質數]]，即它是某个[[質數階乘]]的增一或減一。
:''p<sub>n</sub>''的[[質數階乘]]記作''p<sub>n</sub>''#。

:''p<sub>n</sub>''# − 1是質數，對''n'' = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... {{OEIS|id=A057704}}

:''p<sub>n</sub>''# + 1是質數，對''n'' = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...（{{OEIS2C|id=A014545}}）

前幾個質數階乘質數是：
:[[3]], [[5]], [[7]], [[29]], [[31]], [[211]], 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209 

截至2022年，已知的最大质数阶乘质数是 3267113#-1 ，它有 1418398 位数，由{{le|PrimeGrid}}发现。<ref>[http://www.primegrid.com/download/prs-843301.pdf Primegrid.com] {{Wayback|url=http://www.primegrid.com/download/prs-843301.pdf |date=20200921181224 }}; official anouncement, 24 December 2010</ref>已知的最大的形如 n#+1 的质数阶乘质数是 392113#+1 ，它有 169966 位数，由Daniel Heuer发现。


質數階乘質數也能用來證明[[歐幾里得定理|質數是無限的]]。
首先，假設前n個質數是唯一存在的質數。如果''p<sub>n</sub>''# + 1或''p<sub>n</sub>''# − 1是質數階乘質數，這意味著有比第n個質數更大的質數（即使不是質數，也能證明質數無窮，但不那麼直接。這兩個數除以前n個中的任何一個質數 ''p'' 時，都有餘數 1 或 ''p''−1 ，因此不整除其中任何一數）。

事實上，[[歐幾里得]]的[[歐幾里得定理#歐幾里得的證明|證明]]並沒有假設一個有限集合包含所有質數的存在。相反，他說：
<pre>consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.</pre>
意思是：
考慮任何質數的有限[[集合 (数学)|集合]]（不一定是一開始的質數，例如，它可以是集合{3，11，47}），然後從兩個方面得到這樣的結論：至少存在一個不在該集合的質數。[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html] {{Wayback|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html |date=20110123034101 }}<ref>A. Borning, "Some Results for <math>k! + 1</math> and <math>2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot p + 1</math>" ''Math. Comput.'' '''26''' (1972): 567 - 570.</ref>

== 參見 ==
* [[質數階乘]]
* [[階乘質數]]
* [[歐幾里得數]]
* {{le|PrimeGrid}}

== 參考文獻 ==
* A. Borning, "Some Results for <math>k! + 1</math> and <math>2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot p + 1</math>" ''Math. Comput.'' '''26''' (1972): 567 - 570.
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 ''The Top Twenty: Primorial''] {{Wayback|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 |date=20210506094747 }} at The {{le|PrimePages}}.
* {{MathWorld|title=Primorial Prime|urlname=PrimorialPrime}}
* Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." ''J. Rec. Math.'' '''19''' (1987): 197 - 203.
* Paulo Ribenboim, ''The New Book of Prime Number Records''. New York: Springer-Verlag (1989): 4.
{{reflist}}
{{質數}}

[[Category:整數數列]]
[[Category:階乘與二項式主題]]
[[Category:素數]]