查看“︁質數冪”︁的源代码

{{noteTA
|T=zh-cn:素数幂;zh-tw:質數冪;zh-hk:質數冪;
|G1=Math
}}
'''質數冪'''是[[数学]]名詞，是指單一[[素数]]的[[冪|乘積]]組成的[[自然数]]。

例如：{{nowrap|1=7 = 7<sup>1</sup>}}、{{nowrap|1= 9 = 3<sup>2</sup>}}及{{nowrap|1=32 = 2<sup>5</sup>}}都是質數冪，而{{nowrap|1=6 = 2 × 3}}、{{nowrap|1=12 = 2<sup>2</sup> × 3}}和 {{nowrap|1=36 = 6<sup>2</sup> = 2<sup>2</sup> × 3<sup>2</sup>}}、{{nowrap|1=40 = 2<sup>3</sup> × 5}}不是，因為它們有兩個或超過兩個[[質因數]]。（數字1一般不算是質數）。

前幾個質數冪如下：
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... {{OEIS|id=A246655}}、{{OEIS|id=A000961}}（有[[1]]的數列）

質數冪是只有一個[[質因數]]的整數。質數冪和類似的概念也稱為'''準素'''（primary numbers），例如[[準素分解]]。

==性質==
===代數性質===
質數冪是[[質數]]的自乘積。每一個質數冪（[[2的冪]]次除外）都有一個[[原根]]，因此整數模的[[整数模n乘法群]]''p<sup>n</sup>''是[[循環群]]。

[[有限域]]元素的總數一定是質數冪，相對的，質數冪一定是某一個有限域元素的個數（頂多有[[同构]]的差異）。

===組合性質===
質數冪的一個特性常用在[[解析数论]]中：質數冪的集合中，不是質數的元素[[倒數和收斂]]，而[[質數倒數和|質數的倒數和]]則發散。

===可除性===
質數冪的[[欧拉函数]]（''φ''）及[[除數函數]]（''σ''<sub>0</sub>）和''σ''<sub>1</sub>可以用下式計算：
:<math>\varphi(p^n) = p^{n-1} \varphi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \left(1 - \frac{1}{p}\right),</math>
:<math>\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0\cdot j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,</math>
:<math>\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1\cdot j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{n+1} - 1}{p - 1}.</math>

===其他===
所有的質數冪都是[[次方数]]（[[質數]]除外），質數冪不可能是[[楔形數]]、[[佩服數]]。

[[2的冪]]的數都是[[殆完全數]]。

所有的質數冪都是[[亏数]]。質數冪''p<sup>n</sup>''是''n''次[[殆素数]]。還不確定質數冪是否可以是[[相亲数]]，若有這樣的數，''p<sup>n</sup>''一定大於10<sup>1500</sup>，且''n''一定大於1400。

==流行媒體==
在1997的電影《[[异次元杀阵]]》中，質數冪是其中重要的一部份，在像迷宮一樣的[[立方體]]結構中，質數冪是致命危險的指標。

==相關條目==
*[[殆素数]]
*[[次方數]]
*[[半素数]]

==參考資料==
*''Elementary Number Theory''. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.

{{Divisor classes navbox}}

[[Category:素數]]
[[Category:指数]]