查看“︁質因數”︁的源代码

{{Refimprove|time=2013-09-04}}
{{NoteTA
|1=zh-hans:素因子; zh-hant:質因數;
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|G1 = Math
}}
'''素因子'''（prime factor）或稱'''-{zh-hant:質因子;zh-hans:素因数}-'''、'''質因式'''，在[[數論]]裡是指能整除給定正[[整數]]的[[質數]]。根據[[算術基本定理]]，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。兩個沒有共同質因子的正整數稱為[[互質]]。因為1沒有質因子，[[1]]與任何正整數（包括1本身）都是互質。只有一個質因子的正整數為質數。

将一个正整数表示成质因数乘积的过程和得到的表示结果叫做'''[[质因数分解]]'''。显示质因数分解结果时，如果其中某个质因数出现了不止一次，可以用[[幂|幂次]]的形式表示。例如360的质因数分解是：
:<math> 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5</math>

其中的质因数2、3、5在360的质因数分解中的幂次分别是3，2，1。

数论中的不少[[函数]]与正整数的质因子有关，比如取值为{{math|''n''}}的质因数个数的函数和取值为{{math|''n''}}的质因数之和的函数。它们都是[[加性函数]]，但并非完全加性函数。

== 例子 ==
* 1沒有質因數。
* 5-{只}-有1個質因數，5本身。（5是質數。）
* 6的質因數是2和3。（{{質因數分解|6|show number=yes}}）
* 2、4、8、16等只有1個質因數：2（2是質數，4 = 2<sup>2</sup>，8 = 2<sup>3</sup>，如此類推。）
* 100有2個質因數：2和5。（{{質因數分解|100|show number=yes}}）
* 143也有2個質因數：11和13。（{{質因數分解|143|show number=yes}}<ref>{{cite web|url=http://phys.org/news/2012-04-largest-factored-quantum-algorithm.html|title=143 is largest number yet to be factored by a quantum algorithm|access-date=2024-01-01|archive-date=2023-11-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20231128053009/https://phys.org/news/2012-04-largest-factored-quantum-algorithm.html|dead-url=no}}</ref>）
* 30則有3個質因數：2、3和5。（{{質因數分解|30|show number=yes}}）

== 完全平方数 ==
{{main|完全平方数}}
完全平方数是指等于某个正整数的[[平方]]的数。比如225 = 15<sup>2</sup>是完全平方数，而226不是。完全平方数的质因数分解中，每个质因数的幂次都是[[偶数]]，这是因为假设完全平方数<math>M = n^2</math>，则它的质因数分解可以从{{math|''n''}}的质因数分解推出<ref>{{cite book|author=Sinha Nishit K|title=''Demystifying Number System: (Practical Concepts and Their Applications) for the CAT and Other MBA Exams''|language=en|location=Pearson Education India|isbn=9788131754436}}p.205</ref> 。假设{{math|''n''}}的质因数分解是：
:<math> n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_r^{\alpha_r},</math>
那么{{math|''M''}}的质因数分解就是：
:<math> M = n^2 = p_1^{2\alpha_1} \times p_2^{2\alpha_2} \times \cdots \times p_r^{2\alpha_r},</math>
所以每个质因子的幂次都是<math>2\alpha_i</math>的形式，是偶数。

举例来说，144是一个完全平方数：144 = 12<sup>2</sup>，它的质因数分解是：
:<math> 144 = 12^2 = (2^2  \times 3)^2  = 2^{2 \times 2} \times 3^{2 \times 1 } = 2^4 \times 3^2.</math>

类似地可以证明，如果某个正整数是完全立方数或某个正整数的幂次：<math>M = n^d</math>，那么它的所有质因子的幂次都是{{math|''d''}}的倍数。

== 互质关系 ==
{{main|互质}}
互质是两个正整数之间的一种关系。如果两个正整数{{math|''a''}}和{{math|''b''}}没有共同的质因子，就称这两个正整数互质。一般来说两个正整数的[[最大公约数]]是指能够同时整除两者的正整数之中最大的一个。如果{{math|''a''}}和{{math|''b''}}有公共的质因子{{math|''p''}}，那么它们的最大公约数{{math|gcd(''a'', ''b'')}}就是{{math|''p''}}的倍数。{{math|''a''}}和{{math|''b''}}互质则说明最大公约数是1.

== {{math|Ω}}函数 ==
数论函数中与质因数有关的函数包括{{math|Ω}}函数和{{math|ω}}函数。{{math|ω}}函数定义为正整数{{math|''n''}}的'''不同'''质因子的个数，而{{math|Ω}}函数定义为计算每个质因数的幂次後正整数{{math|''n''}}的不同质因子的个数。
:<center><math>n = \prod_{i=1}^{\omega (n)} p_i^{\alpha_i}, \qquad \quad \Omega (n) = \sum_{i=1}^{\omega (n)}\alpha_i .</math></center>
例如420的质因数分解是：
:<math>420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7,</math>
所以{{math|ω}}(420) <math>=</math> 4，而{{math|Ω}}(420) <math>=</math> 2×1 + 1 + 1 + 1 <math>=</math> 5. 因为420的质因数分解中2的幂次是2而其余质因子的幂次是1.

== 參见 ==
* [[因數]]
* [[最大公因數]]
* [[最小公倍數]]
* [[質數]]
* [[約數]]
* [[質因數表]]

== 参考来源 ==
{{reflist}}

{{Divisor classes navbox}}

[[Category:素数]]