查看“︁賦值環”︁的源代码

{{Rough translation|date=2021-02-10}}{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代數]]中，'''賦值環'''是一個[[体 (数学)|域]]裡的一類特別子環，可由域上的某個[[賦值]]定義。'''離散賦值環'''是其中較容易操作的一類。
==定義==

'''賦值環'''是一个[[整环]]''D''，滿足其[[分式域]] ''F''的任一非零[[元素]]''x''，至少有''x'' 或 ''x''<sup>&nbsp;&minus;1</sup>  ∈ ''D''.
一個[[体 (数学)|域]] ''F'' 的子環 ''R'' 被稱作'''賦值環'''，若且唯若對每個 <math> x \in F^* </math>，必有 <math> x \in R</math> 或 <math> x^{-1} \in R </math>。R被稱作其[[分式域]] ''F'''''賦值環'''或被稱作在其[[分式域]] ''F'''''的[[素点]]（[[位]]）

若 ''R'' 是[[主理想]]域，此時 ''R'' 被稱為'''離散賦值環'''。

==性質==

* 令<math>\mathcal{M} := F - R^* </math>，則 <math>\mathcal{M}</math> 是 F 中唯一的[[極大理想]]。
* 承上，<math>k := R/\mathcal{M} </math> 被稱作 R 的'''剩餘域'''。

==範例==
*任何[[体 (数学)|域]]都是賦值环。
* '''Z'''<sub>(''p'')</sub>是賦值环, ，整数环在[[素理想]][[局部化]]，其中分子，分母是不能被p整除的任何整数组成，。[[分式域]]为[[有理数]]域'''Q'''
*[[复平面]]上的亚纯函数的[[麦克劳林级数]]（[[泰勒级数]]展开为零）环是一个賦值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。
*任何一个给定的素数p p进整数环'''Z'''<sub>''p''</sub> 是局部环（p进数的[[分式域]]'''Q'''<sub>p</sub>域），p进整数环'''Z'''<sub>''p''</sub> 代数闭域'''Z'''<sub>''p''</sub><sup>cl</sup>也是一个局部环， '''Z'''<sub>''p''</sub> 和 '''Z'''<sub>''p''</sub><sup>cl</sup>都是賦值环。
设k是一个有序的领域。 k的元素被称为有限的，如果它在于两个整数N <X <米;否则，它被称为无限。有限元素的K D是估值环。等元素x的x∈D和X-1∉D是无穷小元素的集合;一个元素x在X∉D和X-1∈D，被称为无限。
有限元的超现实领域·R环F是一个* R的估值环F由所有超现实的数字，从一个标准的真正的不同，由一个无限小的量，这相当于说超现实数x这样一些标准的整数n-N <X <N。渣场，有限的超现实数模无穷的超现实数字理想，是同构的实数。

* 令 X 為一[[黎曼曲面]]，x 為其上一點。令 <math> R_x := \{f \in \mathbb{C}(X) : f(x) \neq \infty \}</math>，則 <math>R_x</math> 構成一賦值環。
* 設 <math>F</math> 為域，則 <math>F[[X]]</math> 是 <math>F((X))</math> 中的賦值環。
* <math>\mathbb{Z}_p</math> 為 <math>\mathbb{Q}_p</math> 中的賦值環。
* 設<math>(\Gamma, >)</math> 為一[[有序交換群]]，<math>K</math> 為域，<math>v:  K^* \rightarrow \Gamma</math> 為一[[賦值]]，則 <math>R_v := \{ r \in R : v(r) \geq 0\}</math> 為一賦值環，此時<math>v(K^*)</math>被稱作其'''值群'''。可以證明所有的賦值環都由此而來。

==文獻==
* Nicolas Bourbaki, ''Algèbre commutative, Chapitre 5, 6:  entiers ; valuations'' (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.

{{ModernAlgebra}}

[[Category:環論|F]]
[[Category:交換代數|F]]

[[fr:Anneau à valuation discrète]]