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{{not|赋值语句}}
{{for|邏輯學上，對命題真值的賦值|賦值 (邏輯)}}
在[[代数]]中，'''赋值'''是一个度量[[域_(數學)|域]]元素的[[階 (群論)|阶]]（多少）或元素重复度的函数。推广到[[交换代数]]，就是对[[复分析]]中[[极点_(复分析)|极点]]，[[零点]]重复度度量，推广到[[代数数论]]中的[[代数整数]]整性的度量，在[[代数几何]]中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为'''赋值域'''。

== 定義 ==
一個[[域_(數學)|域]]<math>K</math>上取值在[[有序交換群]]&Gamma;的'''賦值'''是從<math>K^*</math>到&Gamma;的映射<math>v</math>，滿足下述性質：
* <math>v(xy) = v(x)+v(y)</math>（即：<math>v</math>是群同態）
* <math>x+y \neq 0 \Rightarrow v(x+y) \geq \mathrm{min}(v(x),v(y))</math>

&Gamma;稱作<math>v</math>的'''值群'''。

兩個賦值<math>v_i: K^* \rightarrow \Gamma_i \; (i=1,2)</math>被稱作'''等價的'''，若且唯若存在有序交換群的同構<math>\phi: \Gamma_1 \rightarrow \Gamma_2</math>使得<math>v_2 = \phi \circ v_1</math>。

為了操作上的便利，我們通常會將<math>v</math>的值域擴至<math>\Gamma \cup \{\infty\}</math>，並設<math>v(0)=\infty</math>。

==''p''進賦值==
{{main|P進賦值}}
設''p''為正[[質數]]。對於所有非[[0|零]]的[[有理數]]，存在一且唯一一個整數<math>n</math>使得 <math>x = \frac{u}{v} p^n</math> ，其中<math>u,v</math>均非<math>p</math>的倍數。''p''進賦值就是[[函數]] <math>v_p: x \to n</math>。它給出一個p進絕對值 <math>\vert\cdot\vert _p:\,\mathbb{Q} \to \mathbb{R}</math>，定義為

{|
|rowspan="2"|<math> \vert x \vert _p = 
  \begin{cases}
     0 \\
     p^{-v_p(x)} \\
  \end{cases}
</math>
|若<math>x=0</math>
|-
|若<math>x \ne 0</math>
|}

''p''進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 <math>\Z</math>。

==例子==
* 令<math>X</math>為[[黎曼曲面|緊黎曼曲面]]，<math>\mathbb{C}(X)</math>為其上的[[亞純函數|亞純函數域]]。固定一點<math>x \in X</math>。定義<math>v_x(f)</math>為<math>f</math>在<math>x</math>的重根數，便得到<math>\mathbb{C}(X)</math>上的賦值，其值群為<math>\mathbb{Z}</math>。對於高維情形則須考慮其因子，但此時需考慮點的[[拉開]]，狀況較複雜。[[扎里斯基]]正是為了研究[[代數曲面]]而開始研究賦值論。
* 上述構造亦可套用到定義在任意域上的[[代數曲線]]。
* 利用[[函數域]]與[[數域]]的類比，可在<math>\mathbb{Q}</math>上考慮[[P進數|p進賦值]]。根據'''[[奥斯特洛夫斯基定理]]'''，<math>\mathbb{Q}</math>上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。

==參見==
* [[有序交換群]]
* [[賦值環]]

== 参考文献 ==
{{refbegin|2}}
*Nicolas Bourbaki, ''Algèbre commutative, Chapitre 5, 6:  entiers ; valuations'' (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
*{{Citation| last = Jacobson| first = Nathan| title = Basic algebra II| place = New York| publisher = W. H. Freeman and Company| origyear = 1980| year = 1989| edition = 2<sup>nd</sup>| chapter = Valuations: paragraph 6 of chapter 9| zbl = 0694.16001| isbn = 0-7167-1933-9}}. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
*Chapter VI of {{Citation| last=Zariski| first=Oscar| author-link=Oscar Zariski| last2=Samuel| first2=Pierre| author2-link=Pierre Samuel| title=Commutative algebra, Volume II| publisher=Springer-Verlag| location=New York, Heidelberg| series=Graduate Texts in Mathematics| volume=29| year=1976| origyear=1960| isbn=978-0-387-90171-8}}
{{refend}}

== 扩展阅读 ==
{{refbegin|2}}
*{{springer| title= Valuation| id= V/v096010| last= Danilov| first= V.I. }}
*{{PlanetMath|urlname=DiscreteValuation|title=Discrete valuation}}
*{{PlanetMath|urlname=Valuation|title=Valuation}}
*{{MathWorld |title=Valuation |urlname=Valuation}}
{{refend}}

[[Category:抽象代數|F]]