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在[[數論]]上，'''費馬－卡塔蘭猜想'''是[[費馬大定理]]與[[卡塔蘭猜想]]的推廣，而這猜想認為，以下的等式

{{NumBlk|::|<math>a^m + b^n = c^k\quad</math>|{{EquationRef|1}}}}
僅有有限多個<math>a,b,c</math>彼此互質，且<math>m,n,k</math>滿足下列條件的解：
{{NumBlk|::|<math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.</math>|{{EquationRef|2}}}}
這個給出<math>m,n,k</math>條件的不等式是猜想的必要成分，而這是因為沒有這不等式的話，這結果就會有無限多的解，像例如在<math>k=1</math>的狀況下，<math>a^m + b^n = c</math>顯然有無限多的解；而在<math>m=n=k=2</math>的狀況下該等式就是[[畢達哥拉斯定理]]，而目前已知有無限多個[[畢氏三元數]]存在。

==已知解==
截至[[2015年]]為止，等式(1)已知有十個滿足不等式(2)的解，而這些解如下：<ref name=pcm>{{citation|first=Carl|last=Pomerance|authorlink=Carl Pomerance|contribution=Computational Number Theory|pages=361–362|title=[[The Princeton Companion to Mathematics]]|editor1-first=Timothy|editor1-last=Gowers|editor1-link=Timothy Gowers|editor2-first=June|editor2-last=Barrow-Green|editor3-first=Imre|editor3-last=Leader|editor3-link=Imre Leader|year=2008|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2}}.</ref> 

:<math>1^m+2^3=3^2\;</math> （在<math>m>6</math>的狀況下這滿足不等式(2)）
:<math>2^5+7^2=3^4\;</math>
:<math>7^3+13^2=2^9\;</math>
:<math>2^7+17^3=71^2\;</math>
:<math>3^5+11^4=122^2\;</math>
:<math>33^8+1549034^2=15613^3\;</math>
:<math>1414^3+2213459^2=65^7\;</math>
:<math>9262^3+15312283^2=113^7\;</math>
:<math>17^7+76271^3=21063928^2\;</math>
:<math>43^8+96222^3=30042907^2\;</math>
根據在{{le|普雷達·米哈伊列斯庫|Preda Mihăilescu}}於2002年證明的卡塔蘭猜想，這些等式中的第一個，也就是<math>1^m+2^3=3^2\;</math>，是唯一滿足<math>a,b,c</math>其中一個是1的解。盡管因為<math>m</math>可以是大於6的任意數之故，因此<math>1^m+2^3=3^2\;</math>等同於有無限多解，這些解只對<math>(a^m,b^n,c^k)</math>這三元數給出一組解。

==部分結果==
根據利用了[[莫德爾猜想|法爾廷斯定理]]的達爾蒙－關維定理（Darmon–Granville theorem），對於任意特定不等式(2)的三元數組<math>(m,n,k)</math>，等式(1)僅有有限解；<ref>{{cite journal |first1=H. |last1=Darmon |first2=A. |last2=Granville |title=On the equations ''z''<sup>''m''</sup> = ''F''(''x'', ''y'') and ''Ax''<sup>''p''</sup> + ''By''<sup>''q''</sup> = ''Cz''<sup>''r''</sup> |journal=Bulletin of the London Mathematical Society |volume=27 |pages=513–43 |year=1995 |doi=10.1112/blms/27.6.513 }}</ref><ref name=Elkies>{{cite journal | last = Elkies | first = Noam D. | title = The ABC's of Number Theory | journal = The Harvard College Mathematics Review | year = 2007 | volume = 1 | issue = 1 | url = http://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/2793857/Elkies%20-%20ABCs%20of%20Number%20Theory.pdf?sequence=2 | access-date = 2023-01-10 | archive-date = 2016-03-10 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160310095211/https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/2793857/Elkies%20-%20ABCs%20of%20Number%20Theory.pdf?sequence=2 | dead-url = no }}</ref>{{rp|p. 64}}然而完整的費馬－卡塔蘭猜想強於此，而這是因為完整的猜想允許<math>m,n,k</math>這三個指數項是任意數之故。

[[abc猜想]]可導出費馬－卡塔蘭猜想。<ref>{{cite book
 | last = Waldschmidt
 | first = Michel
 | authorlink = Michel Waldschmidt
 | contribution = Lecture on the <math>abc</math> conjecture and some of its consequences
 | doi = 10.1007/978-3-0348-0859-0_13
 | mr = 3298238
 | pages = 211–230
 | publisher = Springer
 | location = Basel
 | series = Springer Proc. Math. Stat.
 | title = Mathematics in the 21st century
 | url = http://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/abcLahoreProceedings.pdf
 | volume = 98
 | year = 2015
 | access-date = 2023-01-10
 | archive-date = 2023-12-03
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231203222213/https://www.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt//articles/pdf/abcLahoreProceedings.pdf
 | dead-url = no
 }}</ref>

亦可見{{link-en|比爾猜想|Beal conjecture}}一文的內容以得知已證實不可能的指數組合；而比爾猜想為真，當且僅當所有費馬－卡塔蘭猜想的解都有<math>m=2</math>、<math>n=2</math>或<math>k=2</math>。

==參見==
*[[冪和]]

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==

* [http://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/PerfectPowers.pdf ''Perfect Powers: Pillai's works and their developments''. Waldschmidt,  M. ] {{Wayback|url=http://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/PerfectPowers.pdf |date=20230325163856 }}

{{DEFAULTSORT:Fermat-Catalan conjecture}}
[[Category:猜想]]
[[Category:數學中未解決的問題]]
[[Category:丟番圖方程]]