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{{NoteTA|G1=物理学}}
[[File:Pierre de Fermat.jpg|thumb|150px|皮埃爾·德·費馬]]
'''費馬原理'''（{{lang-en|Fermat's principle}}）最早由[[法国]][[科学家]][[皮埃爾·德·費馬]]在1662年提出：光传播的路径是[[光程]]取[[极值]]的路径。这个极值可能是极大值、极小值或[[函数]]的[[拐点]]。 <ref name="Hecht2002"/>最初提出时，又名「最短時間原理」：[[光線]]傳播的路徑是需時最少的路徑<ref name="Dugas">{{Citation  | last = Dugas  | first = R.  | title = A History Of Mechanics 
 | place = New York  | publisher = Dover Publications, Inc.  | year = 1988  | pages = pp. 255ff, 274, 345-346 | isbn = 0-486-65632-2}}</ref>。

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为'''平稳'''的路径传播。平稳是数学上的[[微分]]概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是[[几何光学]]的基本定理。用[[微分]]或[[变分法]]可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律：

#光线在[[真空]]中的直线传播。
#[[光的反射定律]] - 光线在界面上的[[反射 (物理学)|反射]]， 入射角必须等于出射角。
#[[光的折射定律]]（[[斯涅尔定律]]）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光線傳播时間都相等。

==概述==
{{multiple image
 | image1=Reflection for Semicircular Mirror upright.svg
 | alt1=光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子[[反射 (物理学)|反射]]，最終抵達點P。
 | width1=125
 | image2=Reflection for Mixed Shaped Mirror.svg
 | alt2=光線從點Q傳播至點O時，會被混合形狀鏡子反射，最終抵達點P。
 | width2=125
 | footer=光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子[[反射 (物理学)|反射]]，最終抵達點P。
}}
費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是[[拐點|拐值]]。<ref name="Hecht2002">{{citation|last =Hecht |first=Eugene|title=Optics|year=2002| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 4th| isbn=0-8053-8566-5 | language=en|pages=pp. 106-111, 141}}</ref>
*平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
*半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
*半圓形鏡子：其兩個端點<math>Q</math>、<math>P</math>的反射路徑光程是最大值。
*如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點<math>Q</math>、<math>P</math>的反射路徑的光程是拐值。

==光的反射==
===平面反射===
[[File:Reflection of light.jpg|thumb|right|200px|光在平面上的反射]]
[[File:Reflection path length.JPG|thumb|right|200px|平面反射的光程]]
光从<math>P</math>点出发射向<math>x</math>点，反射到<math>Q</math>点。

<math>P</math>点到<math>x</math>点的距离  <math>d1= \sqrt{x^2+a^2}</math>

<math>Q</math>点 到<math>x</math>点的距离 <math>d2= \sqrt{b^2+(l-x)^2}</math>

從點<math>P</math>到點<math>Q</math>的光程<math>D</math>為
:<math>D=\sqrt{x^2 + a^2}+ \sqrt{b^2 + (l - x)^2}</math> 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 <math>D</math> 對 <math>x</math> 的導數，令其為零：

:<math>D'= \frac{  x}{\sqrt{x^2+a^2}}</math><math>+\frac{-l+x}{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}=0</math> 。

但其中
:<math> \frac{  x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\sin\theta_1</math>


<math>-\frac{l-x}{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}=-\sin\theta_2</math> 。

即
:<math>\sin\theta_1 -\sin\theta_2 =0</math>

:<math>\theta_1 =\theta_2 </math>

这就是反射定律

===半球面反射===
<div style="float:right;width:150px;">
{|
|-
| [[File:Reflection for Semicircular Mirror.svg|none|thumb|150px|光線從點<math>Q</math>傳播至點<math>O</math>時，會被半圓形鏡子[[反射]]，最終抵達點<math>P</math>。]]
|-
| [[File:Semi circle reflection.JPG|none|thumb|150px|<math>R=5</math>半圆镜的反射点在圆的[[頂點 (幾何)|顶点]]，光程最长<math>=2.82R</math>]]
|}
</div>

球面的半径<math>=R</math>

光线从直径一端<math>Q</math>射向球面，反射到直径另一端<math>P</math>

光程<math>D= \sqrt{y^2+(R+x)^2}+\sqrt{y^2+(-x+R)^2}   </math>

因<math>y^2=R^2-x^2</math>;

所以

<math>D=\sqrt{2R^2+2xR}+\sqrt{-2xR+2R^2}</math>

根据费马原理，<math>D'=0</math>

<math>D'=\frac{R}{\sqrt{2R^2+2xR}}-\frac{R}{\sqrt{-2xR+2R^2}}=0</math>

解之， 得  <math>x=0</math>，代入<math>D</math>得到：

光程<math>D=2\sqrt{2}R</math>，乃是一个最大值<math>=2.8R</math>；（最小值光程是从直径一端到<math>Q</math>另一端<math>P</math>，光程<math>=2R</math>）

==光的折射==
[[File:Snellslaw diagram B.png|right|thumb|250px|光線從介質1的點<math>Q</math>，在點<math>O</math>傳播進入介質2，發生折射，最後抵達介質2的點<math>P</math>。]]
如右圖所示，設定介質1、介質2的折射率分別為 <math>n_1</math> 、<math>n_2</math> ，光線從介質1在點<math>O</math>傳播進入介質2，則司乃耳定律以方程式表達為
:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math> ；

其中，<math>\theta_1</math> 為入射角，<math>\theta_2</math> 為折射角。

從費馬原理，可以推導出[[司乃耳定律]]。光線在介質1與介質2的速度 <math>v_1</math> 和 <math>v_2</math> 分別為
:<math>v_1=\frac{c}{n_1}</math> 、
:<math>v_2=\frac{c}{n_2}</math> ；

其中，<math>c</math> 是[[真空]]光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率 <math>n_1</math> 和 <math>n_2</math> 都大於 <math>1</math> 。

從點Q到點P的傳播時間 <math>T</math> 為
:<math>T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2}</math> 。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 <math>T</math> 對 <math>x</math> 的導數，設定其為零：
:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0</math> 。

其中
<math>\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} =\sin\theta_1</math>

<math>\frac{  (l - x)}{\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=\sin\theta_2</math>

因此得到傳播速度與折射角的關係式：
:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0</math> 。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：
:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math> 。

== 运动学 ==
{{main|最速降线问题}}
[[伯努利家族]]的[[约翰·伯努利]]在解决[[最速降线问题]]时曾利用到费马原理。<ref>http://www.guokr.com/article/22018/ {{Wayback|url=http://www.guokr.com/article/22018/ |date=20190502194458 }} 复活节闲扯：一场激动人心的数学公开挑战赛，果壳网。</ref>他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为[[摆线]]。

==參閱==
*[[费马]]
*[[哈密顿原理]]
*[[最小作用量原理]]
*[[路径积分表述]]
*[[惠更斯－菲涅耳原理]]

==參考文獻==
{{reflist}}

{{皮埃爾·德·費馬}}

{{DEFAULTSORT:F}}
[[Category:几何光学]]
[[Category:变分法]]