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{{noteTA|G1=Math|1=zh-hk:森姆;zh-tw:山繆;zh-cn:塞缪尔|2=zh-hans:斯托福;zh-tw:史托福}}
[[File:Fisher-method-fused-P.svg|right|thumb|400x400px|以費雪法合併兩個[[p值]]（''P''<sub>1</sub>與''P''<sub>2</sub>）。例如，當''P''<sub>1</sub>與''P''<sub>2</sub>皆為0.1時，合併之p值約為0.05。顏色最深的區域表示整體p值小於0.05。]]

'''費雪法'''（{{lang-en|Fisher's method}}），或稱'''費雪合併機率檢驗'''（{{lang-en|Fisher's combined probability test}}）是[[統計學]]中用於合併多個[[p值]]的方法，<ref>{{cite book|last=Fisher|first=R.A.|year=1925|title=Statistical Methods for Research Workers|publisher=Oliver and Boyd (Edinburgh)|url=https://archive.org/details/statisticalmethoe7fish|isbn=0-05-002170-2|url-access=registration}}</ref><ref>{{cite journal |last=Fisher |first=R.A. |author2=Fisher, R. A |year=1948 |title=Questions and answers #14 |url=https://archive.org/details/sim_american-statistician_1948-10_2_5/page/30 |journal=The American Statistician |volume=2 |issue=5 |pages=30–31 |doi=10.2307/2681650 |jstor=2681650}}</ref>由[[羅納德·愛爾默·費雪]]所創，常應用於[[元分析]]。其基本形式是結合源於同一個[[虛無假設]]（''H''<sub>0</sub>）之下多個[[卡方檢定|獨立性檢驗]]的結果。

== 應用 ==

費雪法用於結合各個檢驗的極端值機率（即[[p值]]）成一個卡方[[統計量]]：

:<math>X^2_{2k} \sim -2\sum_{i=1}^k \ln(p_i)</math>，

其中''p''<sub>''i''</sub>為第''i''個檢驗之p值。當''p''<sub>''i''</sub>較小則卡方統計量''X''<sup>2</sup>較大而拒絕整體虛無假說。

若所有的虛無假說皆為真，且''p''<sub>''i''</sub>（或各統計檢驗量）皆相互獨立，則''X''<sup>2</sup>服從[[自由度]]為2''k''的[[卡方分布]]，其中''k''表示所有參與的[[假說檢定]]個數。按此可以取得聯合檢驗之p值，即對多個p值進行合併。

此卡方統計量的分布服從卡方分布的原因是：對於每一個統計檢驗''i''，其p值（''p''<sub>''i''</sub>）服從界於0至1的[[均勻分布]]。均勻分布取自然對數的相反數又服從[[指數分布]]。指數分布乘2又服從自由度為2的卡方分布。最終，''k''項獨立的卡方統計量（每項自由度為2）之總和服從自由度為2''k''的卡方分布。

== 獨立性前提的限制 ==

當各檢驗不獨立時，''X''<sup>2</sup>偏大、整體p值偏小使推論過份偏好對立假說。因此，在不獨立的統計檢驗量間使用費雪法時，若整體p值較大較無所謂；但若整體p值很小則可能發生[[型一錯誤與型二錯誤|型一錯誤]]。

== 獨立性前提的擴展 ==
{{Main|{{link-en|費雪法的擴展|Extensions of Fisher's method}}}}

在統計檢驗不相互獨立時，''X''<sup>2</sup>的{{link-en|虛無分布|Null distribution}}並不單純。常見的策略是採用縮放過的卡方隨機變數近似虛無分布。若已知p值間的共變異數，亦存在其它近似方法。

以{{link-en|費雪法的擴展|Extensions of Fisher's method|布朗法}}為例，<ref>{{cite journal | last1 = Brown  | first1 = M. | title =  A method for combining non-independent, one-sided tests of significance | url = https://archive.org/details/sim_biometrics_1975-12_31_4/page/987  | journal = Biometrics | volume = 31 | pages = 987–992 | year = 1975 | doi = 10.2307/2529826 | issue = 4 | jstor = 2529826 }}</ref>該方法可用於結合二個相依p值，當其統計檢定量為[[共變異數矩陣]]已知的[[多元常態分布]]。此外，{{link-en|費雪法的擴展|Extensions of Fisher's method|科斯特法}}擴大了布朗法的條件：共變異數矩陣由已知擴展至未知但具純量乘法常數即可。<ref>{{cite journal | last1 = Kost  | first1 = J. | last2 = McDermott | first2 = M. | title =  Combining dependent P-values | url = https://archive.org/details/sim_statistics-probability-letters_2002-11-15_60_2/page/n58  | journal = Statistics & Probability Letters | volume = 60 | pages = 183–190 | year = 2002 | doi = 10.1016/S0167-7152(02)00310-3 | issue = 2 }}</ref>

在相依結構未知時，{{link-en|調和平均p值|Harmonic mean p-value}}可以代替費雪法，但仍不可假設檢驗相互獨立。<ref name=":0">{{cite journal|vauthors=Good, I J|date=1958|title=Significance tests in parallel and in series|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1958-12_53_284/page/799|journal=Journal of the American Statistical Association|volume=53|issue=284|pages=799–813|doi=10.1080/01621459.1958.10501480|jstor=2281953}}</ref><ref name=":1">{{cite journal|vauthors=Wilson, D J|date=2019|title=The harmonic mean ''p''-value for combining dependent tests|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences USA|volume=116|issue=4|pages=1195–1200|doi=10.1073/pnas.1814092116|pmid=30610179|pmc=6347718|bibcode=2019PNAS..116.1195W |doi-access=free}}</ref>

== 結果解讀 ==
費雪法通常用於一系列相互獨立的統計檢驗，例如是具有相同[[虛無假說]]的各別研究。這與元分析的虛無假說經常是各別的虛無假說皆為真的情況相符。因此，費雪法結果若支持[[對立假說]]，則可解讀為至少存在一個對立假說為真。

在某些情況下，考慮各研究的「異質性」是有意義的，特別是某些研究支持虛無假說但某些支持對立假說，或是不同研究具有不同的對立假說。不同的對立假說形成的異質性可能是源於[[效果量]]在不同研究間不均。例如，考慮一系列針對葡萄糖攝取量對罹患[[第2型糖尿病]]的風險之研究，由於各研究間的對象存在[[遺傳]]或環境上的差異，特定葡萄糖攝取量所對應的罹患風險在各研究間亦可能不同。

在各別對立假說是全真或全偽的情況下，例如檢驗某種[[物理]][[定律]]，單獨研究或實驗的結果若不一致則是偶然造成的，例如存在[[檢定力]]差異。

在元分析中若採用{{link-en|單尾與雙尾檢驗|One- and two-tailed tests|雙尾檢驗}}，即使部分各別研究指出存在強烈但方向不等的效果，仍可能拒絕整體虛無假設。在這種情況下，雖然可以解讀為至少存在一個研究中的虛無假說為偽，但這並不意味著應支持所有研究的對立假說。因此，雙尾元分析對對立假說中的異質性特別敏感。採用{{link-en|單尾與雙尾檢驗|One- and two-tailed tests|單尾檢驗}}的元分析可以檢測效果量的異質性，但側重於單一且預先指定的影響方向。

== 與斯托夫Z值法的關係 ==

[[File:zlogp.pdf|thumb|right|400px|斯托夫Z值法與費雪法的關係以''z''與&minus;log(''p'')的關係表示。]]

斯托夫Z值法（由社會學家{{link-en|山繆·安德魯·斯托福|Samuel A. Stouffer}}所創）與費雪法的作用相似，但前者可納入不同研究間具有不同的權重。<ref>{{cite book |last1= Stouffer |first1= S.A. |last2=Suchman|first2=E.A. |last3=DeVinney |first3= L.C. |last4=Star |first4=S.A. |last5=Williams|first5=R.M. Jr.|title= The American Soldier, Vol.1: Adjustment during Army Life |publisher= Princeton University Press, Princeton |year= 1949}}</ref><ref>{{cite book |last1=Mosteller | first1=F. |last2=Bush |first2=R.R. |editor-first=G.| editor-last=Lindzey |title=Handbook of Social Psychology,Vol1 |publisher=Addison_Wesley, Cambridge, Mass. |year=1954 |pages=289–334 |chapter=Selected quantitative techniques}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Liptak  | first1 = T. | title = On the combination of independent tests | journal = Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. | volume = 3 | pages = 171–197 | year = 1958}}</ref>

令''Z''<sub>''i''</sub>&nbsp; = &nbsp;''Φ''<sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1</sup>(1&minus;''p''<sub>''i''</sub>)，其中''Φ''為標準[[常態分布]]的[[累積分布函數]]，則

:<math>
Z \sim \frac{\sum_{i=1}^k w_iZ_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^k w_i^2}}
</math>

稱為元分析的整體Z值，其中''w''為各研究的權重。

由於費雪法基於「平均p值」而斯托夫Z值法基於「平均z值」，二者的關係遵循''z''與&minus;log(''p'')&nbsp;=&nbsp;&minus;log(1&minus;''Φ''(''z''))的關係。在常態分布之下，二者並非線性關係，但z值經常存在的範圍（1至5）之內的關係較線性。因此，二種方法的[[檢定力]]通常很接近。

== 參考資料 ==
{{Reflist|2}}
== 相關條目==
* {{link-en|費雪法的擴展|Extensions of Fisher's method}}

== 外部連結 ==
* [https://cran.r-project.org/web/packages/metap/index.html metap] {{Wayback|url=https://cran.r-project.org/web/packages/metap/index.html |date=20221215034904 }} R套件.

{{统计学}}
[[Category:統合分析]]