查看“︁費波那契質數”︁的源代码

'''費波那契質數'''為[[費波那契數列]]''F''<sub>''n''</sub>中的[[質數]]，其前幾項例子為:
: ''F''<sub>3</sub>=2, ''F''<sub>4</sub>=3, ''F''<sub>5</sub>=5, ''F''<sub>7</sub>=13, ''F''<sub>11</sub>=89, ''F''<sub>13</sub>=233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, ....{{oeis|A005478}}

==已知費波那契質數==
{{unsolved|數學|是否存在無限多個費波那契質數？}}

目前並不清楚是否存在[[無限]]多個費波那契質數。前33個費波那契質數在費波那契數列<math>F_n</math>中的項指標''n''為：
:''n'' = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839。 {{oeis|id=A001605}}

除了這些已證明的費波那契質數，以下指標''n''所代表的費波那契數為[[可能質數]]：
:''n'' = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353.<ref name="prptop">[http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=F%28n%29&action=Search PRP Top Records, Search for : F(n)] {{Wayback|url=http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=F%28n%29&action=Search |date=20210125210440 }}. Retrieved 2014-08-12.</ref>

除了''n'' = 4的例子之外，所有費波那契質數的指標''n''也是質數，因為當''a''可[[整除]]''b''時，<math>F_a</math>也可整除<math>F_b</math>。

在前10個質數''p''中，有8個''p''所對應的''F''<sub>''p''</sub>也是質數—例外包括''F''<sub>2</sub> = 1及''F''<sub>19</sub> = 4181 = 37 &times; 113。然而當項指標增大時，費波那契質數越來越稀少。在10,000之內的1,229個質數''p''中，僅有26個對應到費波那契質數''F''<sub>''p''</sub>（見上方例子''n'' = 3, 4, 5, 7, ..., 9677，共26個）。<ref>Sloane's {{OEIS2C|A005478}}, {{OEIS2C|A001605}}</ref>

{{As of|2014|08}}，已知最大的費波那契質數為''F''<sub>81839</sub>，共有17103位數。其為質數的結果是由David Broadhurst與Bouk de Water於2001年證明。<ref>{{Cite web |url=http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0104&L=nmbrthry&P=R1807&D=0 |title=Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water |access-date=2015-01-18 |archive-date=2021-04-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210428071130/https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0104&L=nmbrthry&P=R1807&D=0 |dead-url=no }}</ref><ref>Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=39 The Top Twenty: Fibonacci Number] {{Wayback|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=39 |date=20210426155802 }} from the [[Prime Pages]]. Retrieved 2009-11-21.</ref> 最大的可能費波那契質數為''F''<sub>2904353</sub>，共有606974位數，由Henri Lifchitz於2014年發現。<ref name="prptop"/>

另一方面，Nick MacKinnon證明了費波那契數列中，僅3, 5, 13三個數是[[孿生質數]]的成員。<ref> N. MacKinnon, Problem 10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), p. 78</ref>

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
* {{MathWorld|title=Fibonacci Prime|urlname=FibonacciPrime}}

{{質數}}

[[Category:整數數列]]
[[Category:素數]]
[[Category:數學中未解決的問題]]
[[Category:斐波那契数]]