查看“︁負頻率”︁的源代码

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'''正頻率與負頻率'''的概念，可以簡單用順時針或逆時針轉動的輪子來闡釋：頻率帶正負號，就能同時表示轉動方向和頻率大小，其大小用轉數每秒（[[赫茲]]）或[[弧度每秒]]作為單位（1轉為2''π''[[弧度]]）。

== 正弦波 ==
令''ω''為一非負參數，其單位為rad/sec（弧度每秒）。若角度''φ''隨時間''t''變化的關係式為''φ''(''t'') = -''ωt'' + ''θ''，則式中斜率為-''ω''，稱為'''負頻率'''。但是當該角度用作[[餘弦]]函數的參數時，其結果便與cos(''ωt'' − ''θ'')沒有區別。同樣，{{nowrap|sin(−''ωt'' + ''θ'')}}亦與sin(''ωt'' − ''θ'' + ''π'')沒有區別。因此，任何[[正弦]]曲線皆能以正頻率來表示，[[相位]]斜率所帶有的正負號不再具有意義。
[[File:Negative_frequency.svg|右|缩略图|300x300像素|負頻率導致[[正弦]]函數(紫線)領先[[餘弦]]函數(紅線)1/4圈。]]
[[File:Unit_circle.svg|右|缩略图|300x300像素|向量(cos ''t'', sin ''t'')以1 rad/sec的[[角速度]]逆時針旋轉，每2''π''秒轉一圈。[[向量]](cos (-''t''), sin (-''t'')) 以相反方向旋轉（未顯示）。]]

但若同時觀察餘弦與正弦運算子時，便能確定頻率的符號，因為若{{nowrap|''ω'' > 0}}，則{{nowrap|cos(''ωt'' + ''θ'')}}比{{nowrap|sin(''ωt'' + ''θ'')}}領先1/4圈（即''π''/2弧度）；反之，若{{nowrap|''ω'' < 0}}，則落後1/4圈。同理，一個向量{{nowrap|(cos ''t'', sin ''t'')}}以1 rad/sec的[[角速度]]逆時針轉動，每2''π''秒轉完一圈，而向量{{nowrap|(cos (−''t''), sin (−''t''))}}則以另一個方向轉動。

[[複指數]]函數<math> t \mapsto e^{i\omega t}</math>亦保留''ω''的正負號：
{{NumBlk|:|<math>e^{i \omega t} = \underbrace{\cos(\omega t)}_{R(t)} + i\cdot \underbrace{\sin(\omega t)}_{I(t)},</math>&nbsp; &nbsp; &nbsp;<ref>等式又稱為[[歐拉公式]]。</ref>|{{EquationRef|式1}}}}因為[[實部]]''R''(''t'')與[[虛部]]''I''(''t'')能分別比較。雖然<math>e^{i \omega t}</math>組合了sin和cos兩個函數，所以似乎比兩者含有更多資訊，但通常理解其為更簡單的函數，因為

* 它簡化了許多重要的三角運算。嚴格而言，<math>e^{i \omega t}</math>是<math> \cos(\omega t)</math>的[[解析信号|解析表示]]。
* {{EquationNote|式1}}有以下推論： 

<blockquote>
{{NumBlk||<math>\cos(\omega t) = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}\left(e^{i \omega t} + e^{-i \omega t}\right),</math>|{{EquationRef|式2}}}}
所以，也可以將<math>\cos(\omega t)</math>理解成同時包含正負頻率，但其和事實上有互相抵銷，故其所含資訊是並非更多，反而更少。
</blockquote>

== 應用 ==
也許最為人熟知的負頻率應用在於運算式 : 

<math>X(\omega) = \int_{a}^{b} x(t)\cdot e^{-i\omega t} dt,</math>

此數測量的，是函數''x''在區間(''a'', ''b'')的一段中，所含頻率''ω''成份的強度。若取區間為{{nowrap|(−∞, ∞)}}，對不同的''ω''求出<math>X(\omega)</math>，則得到函數''X''，稱為''x''的[[傅立葉變換]]。一個簡單的解釋是，兩個[[複數 (數學)|複]]正弦波的乘積也是[[複數 (數學)|複]]正弦波，其頻率為原始頻率的總和。因此，當''ω''為正時，乘上<math>e^{-i\omega t}</math>會使所有''x''(''t'')的頻率都減少''ω''。''x''(''t'')恰好具有頻率''ω''的部分，將變為零頻率，即[[常數函數|常數]]，而其振幅大小，即為其初始時頻率為''ω''的訊號強度。而''x''(''t'')處於零頻率的部分，則會變成頻率為-''ω''的正弦波。同樣，所有其他頻率，經減少''ω''後，仍是非零頻率。當區間(''a'',''b'')越來越長，常數的貢獻會與區間長度成[[正比]]，越來越大。但是正弦波項的貢獻，則僅會在零附近震盪。因此''X''(''ω'')作為在''x''(''t'')中頻率值''ω''的相對量度將會提高。

<math>t\mapsto e^{i \omega t}</math>的傅立葉轉換僅會在頻率為''ω''時產生一個非零響應。<math> t\mapsto \cos(\omega t)</math>的轉換於''ω''與-''ω''處皆具有響應，與{{EquationNote|式2}}預測的一樣。

== 正負頻率採樣和混疊 ==
[[File:Aliasing_between_a_positive_and_a_negative_frequency.svg|左|有框|這張圖描述兩個複正弦波，分別為金色與青色曲線，其實部與虛部通過同一組取樣點。當以網格線標示的頻率（fs）採樣時，他們互相重合，但金色函數具有正頻率，因為其[[實部]]（餘弦函數）領先[[虛部]]1/4圈。反之，青色曲線則具有負頻率，因為其實部落後於虛部]]

{{clear}}

== 注釋 ==
{{Reflist|2}}

== 參考資料 ==
* [http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/Positive_Negative_Frequencies.html Positive and Negative Frequencies] {{Wayback|url=http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/Positive_Negative_Frequencies.html |date=20060108181020 }}
* Lyons, Richard G. (Nov 11, 2010). Chapt 8.4. ''Understanding Digital Signal Processing'' (3rd ed.). Prentice Hall. 944 pgs. {{ISBN|0137027419}}.

[[Category:基本物理概念]]
[[Category:振动和波]]