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在[[代數拓撲學]]中，[[拓撲空間]]之'''貝蒂數'''（[[英语]]：Betti number）<math>b_0, b_1, b_2, \ldots</math> 是一族重要的不變量，取值為非負整數或無窮大。直觀地看，<math>b_0</math> 是[[連通分支 (拓撲)|連通分支]]之個數，<math>b_1</math> 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 <math>b_k</math> 可藉[[同調|同調群]]定義。

「貝蒂數」一詞首先由[[龐加萊]]使用，以義大利數學家[[恩里科·貝蒂]]命名。

==定義==
空間 <math>X</math> 的第 <math>k</math> 個貝蒂數（<math>k</math> 為非負整數）定義為
: <math>b_k = \dim H_k(X; \mathbb{Q})</math>

上式的同調群可以任意[[域 (數學)|域]]為係數。

==例子==
* 圓環 <math>S^1</math> 的貝蒂數依次為 <math>1,1,0,0,0, \ldots</math>。
* 二維環面的貝蒂數依次為 <math>1,2,1,0,0,0,\ldots</math>。
* 三維環面的貝蒂數依次為 <math>1,3,3,1,0,0,0,\ldots</math>。
* 一般而言，<math>n</math> 維環面的貝蒂數由[[二項式係數]]給出，此命題可透過下節敘述的性質證明。
* 無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數，例如無窮維複[[射影空間]] <math>\mathbb{P}^\infty</math> 的貝蒂數依次為 <math>1,0,1,0,1,\ldots</math>（週期為二）。

==性質==
閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的「洞」數。[[環面]]之 <math>b_1 = 2</math>；一般而言，閉曲面的 <math>b_1</math> 等於「洞」或「把手」個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其 <math>b_1</math> 完全分類。

有限[[單純複形]]或[[CW複形]]的貝蒂數有限。當 <math>k</math> 大於複形維度時，<math>b_k=0</math>。

對於有限 CW 複形，定義其'''龐加萊多項式'''為貝蒂數的[[生成函數]]
: <math>P_X(z) := \sum_k b_k z^k</math>
對於任意 <math>X, Y</math>，有
:<math>P_{X\times Y}(z) = P_X(z) P_Y(z) .</math>

對於 <math>n</math>-維可定向閉[[流形]] <math>X</math>，[[龐加萊對偶定理]]給出貝蒂數的對稱性
: <math>b_k(X) = b_{n-k}(X)</math>

==貝蒂數與微分形式==
在[[微分幾何]]及[[微分拓撲]]中，所論的空間 <math>X</math> 通常是閉[[流形]]，此時拓撲不變量 <math>b_k</math> 可以由源自流形微分結構的[[微分形式]]計算。具體言之，考慮複形
: <math>0 \to A^0(X) \stackrel{d}{\to} A^1(X) \stackrel{d}{\to} A^2(X) \to \cdots</math>
其中 <math>A^k(X)</math> 表 <math>k</math> 次微分形式構成的向量空間，<math>d</math> 為[[外微分]]。則
: <math>b_k = \dim \dfrac{\mathrm{Ker}(d: A^k \to A^{k+1})}{\mathrm{Im}(d: A^{k-1} \to A^k)} </math>
這是[[德拉姆上同調]]理論的簡單推論。

德拉姆上同調的不便之處，在於它考慮的是微分形式的[[等價類]]，其間可差一個 <math>\mathrm{Im}(d: A^{k-1} \to A^k)</math> 之元素。設流形 <math>X</math> 具有[[黎曼度量]]，則可以定義微分形式的「長度」。我們若嘗試以[[變分法]]在等價類中找最短元素，透過形式計算可知存在唯一最短元素 <math>\omega \in A^k(X)</math>，且為'''調和形式''' ：<math>\Delta \omega = 0</math>，在此[[拉普拉斯算子]] <math>\Delta</math> 依賴於流形的度量，在局部座標系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的[[霍奇理論]]在複幾何中扮演關鍵角色。

==文獻==
* F.W. Warner, ''Foundations of differentiable manifolds and Lie groups'', Springer (1983).
* J.Roe, ''Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods'', Second Edition (Research Notes in Mathematics Series '''395'''), Chapman and Hall (1998).

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