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'''貝爾級數'''是[[數論]]上一種研究[[算術函數]]的工具。它是[[形式幂级数]]。

給定算術函數f和[[質數]]''p''，'''f模''p''的貝爾級數'''為 <math>f_p(x) = \sum_{i=0}^\infty f(p^n) x^n</math>

*唯一定理：對於任意質數''p''，若兩個[[積性函數]]模''p''的貝爾級數都相等，則這兩個函數是相等的。
*對於兩個算術函數的[[狄利克雷卷積]]，有<math>{(f*g)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)</math>。
*一個完全積性函數的貝爾級數為[[幾何級數]]：<math>f_p(x) = \frac{1}{1 - f(p) x}</math>。

==例子==

以下是一些常见的算术函数的贝尔级数。

* [[默比乌斯函数]]<math>\mu</math>的<math>\mu_p(x)=1-x.</math>
* [[欧拉函数]]<math>\phi</math>的<math>\phi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.</math>
* [[刘维尔函数]]<math>\lambda</math>的<math>\lambda_p(x)=\frac{1}{1+x}.</math>
* [[因子函数]]<math>\sigma_k</math>的<math>(\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{1-\sigma_k(p)x+p^kx^2}.</math>

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==參考==
* Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
[[Category:算術函數]]
[[Category:级数]]