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'''豪斯霍尔德变换'''（{{lang|en|Householder transformation}}）或譯「豪斯霍德轉換」<ref>胡家彰. [http://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi?o=dnclcdr&s=id=%22095CCU05650026%22.&searchmode=basic MIMO通訊系統之低複雜度天線選擇] {{Wayback|url=http://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi?o=dnclcdr&s=id=%22095CCU05650026%22.&searchmode=basic |date=20140307112133 }}</ref>，又称'''初等反射'''（{{lang|en|Elementary reflection}}），最初由{{lang|en|A.C Aitken}}在1932年提出<ref>H.W. Turnbull, A.C. Aitken, An Introduction to the Theory of Canonical Matrices, Blackie, London: Glasgrow, 1932</ref>。[[阿尔斯通·斯科特·豪斯霍尔德]]在1958年指出了这一变换在[[数值线性代数]]上的意义<ref>Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, ''Journal ACM'', '''5''' (4), 1958, 339-342. [http://dx.doi.org/10.1145/320941.320947 DOI:10.1145/320941.320947]</ref>。这一变换将一个向量变换为由一个超平面[[反射 (数学)|反射]]的镜像，是一种[[线性变换]]。其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵，在一般[[内积空间]]中的类比被称作{{le|豪斯霍尔德算子|Householder operator}}。超平面的法向量被称作豪斯霍尔德向量。

==定义==

[[File:HouseholderReflection.png|thumb|320px|豪斯霍尔德变换示意图：向量'''x'''在豪斯霍尔德向量v的超平面<math>\mathbf{v}^{\perp}</math>上的镜像是'''Hx'''，'''H'''是豪斯霍尔德矩阵。]]

如果 <math>v</math> 给出为[[单位向量]]而 <math>I</math> 是[[单位矩阵]]，则描述上述[[线性变换]]的是 '''豪斯霍尔德矩阵''' （<math>v^*</math> 表示向量 <math>v</math> 的[[共轭转置]]）
: <math>H = I - 2 vv^*.\,</math>

==性质==
豪斯霍尔德矩阵<math>H</math>有如下性质:
* 它是[[對稱矩陣]]，即 <math>H^T=H </math>
* 它是[[正交矩阵]]，即 <math>H^T=H^{-1} </math>
* 它是[[埃爾米特矩陣]]，即 <math>H^*\ = H </math>
* 它是[[对合]]的，即 <math>H^2=I\ </math>

进一步的，<math>H</math> 实际上按上面描述的那样反射了[[点]] <math>X</math> (用它的[[位置向量]] <math>x</math> 来识别)，因为

: <math>Hx = x-2vv^*x = x - 2\langle v,x\rangle v,</math>

这里的 <math>\langle, \rangle</math> 表示[[內積]]。注意 <math>\langle v, x\rangle</math> 等于从 ''X'' 到超平面的距离。

==应用==

豪斯霍尔德变换可以将向量的某些元素置零，同时保持该向量的[[范数]]不变。例如，将非零列向量<math>\mathbf{x}=[x_1,\ldots,x_n ]^T</math>变换为[[基向量|单位基向量]]<math>\mathbf{e}=[1,0,\ldots,0]^T</math>乘以一个常数的豪斯霍尔德矩阵为

:<math>\mathbf{H} = \mathbf{I} - \frac{2}{\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle}
\mathbf{vv}^H</math>
其中豪斯霍尔德向量<math>\mathbf{v}</math>满足：
:<math>\mathbf{v} = \mathbf{x} + \rm{sgn}(x_1) \Vert x \Vert_2 \mathbf{e}_1 . \,</math>

Dubrulle 在2000年给出了将豪斯霍尔德变换应用于生成一个一般的稀疏向量的一个[[数值稳定]]的算法<ref>
A.A. Dubrulle, Householder Transformations Revisited, SIAM Journal on Matrix Analysis and
Applications, 2001</ref>。

对一个矩阵的各个列向量逐一进行相应的豪斯霍尔德变换，可以将这个矩阵变换为上[[海森伯格矩阵]]、[[上三角矩阵]]等形式<ref>David D. Morrison, Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, ''Journal ACM'', '''7''' (2), 1960, 185-186. [http://dx.doi.org/10.1145/321021.321030 DOI:10.1145/321021.321030]</ref>。后者就是[[QR分解]]的豪斯霍尔德算法。

==参考文献==
<references/>

==参见==
* [[线性变换]]
* [[数值计算]]
* [[Givens旋转]]
* [[QR分解]]

== 外部链接 ==
*[https://web.archive.org/web/20070702064041/http://www.maths.lancs.ac.uk/~gilbert/m306c/node21.html Householder's Method]
*[https://web.archive.org/web/20070609042513/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HouseholderMod.html Householder Transformations]

[[Category:数值线性代数|H]]
[[Category:矩阵|H]]
[[Category:线性代数|H]]
[[Category:幾何|H]]