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'''豪斯多夫距离'''量度[[度量空间]]中[[紧集|紧]]子集之间的距离。 

==定义==
[[File:Hausdorff distance sample.svg|250px|right]]
设''X''和''Y''是度量空间''M''的两个紧子集。那么豪斯多夫距离''d<sub>H</sub>''(''X'',''Y'')是最小的数''r''使得''X''的闭''r''—邻域包含''Y''，''Y''的闭''r''—邻域也包含''X''。换句话说，若''d(x, y)''表''M''中的距离，那么
: <math> d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{.} \! </math>

这距离函数令''M''的所有紧子集组成的集成为度量空间，且记为''F''(''M'')。''F''(''M'')的拓扑只是依赖于''M''的拓扑。若''M''是紧的，则''F''(''M'')也是。

豪斯多夫空间也可以照样定义在''M''的[[闭集|闭]]非紧子集上，但距离可能是无限大，''F''(''M'')的拓扑不只依赖于''M''的拓扑，也依赖于''M''的特有度量。非闭子集间的豪斯多夫距离可以定义为它们的闭包的豪斯多夫距离。这给予''M''的所有子集组成的集一个[[伪度量]]。（两个有相同闭包的子集的豪斯多夫距离是零）。

在歐幾里得几何常用一个类似概念，称为'''在[[等距同构]]下的豪斯多夫距离'''。设''X'' 和''Y''是歐幾里得空间中两个紧的图形，则''D<sub>H</sub>''(''X'',''Y'')是''d<sub>H</sub>''(''I''(''X''),''Y'')取所有歐幾里得空间的保距变换''I''的最小值。这距离量度''X''和''Y''离等距差多少。

==引用==
* Munkres, James; ''Topology'', Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0131816292.
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[[Category:度量几何]]
[[Category:距离]]