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'''豪斯多夫悖論'''是數學上一個以[[費利克斯·豪斯多夫]]命名的悖論，這悖論牽涉了[[二維空間|<math>{ \ S^2 }</math>]]上的三維[[球面|球]]<math>{ R^3}</math>。這悖論指出，若將特定的[[可數]]子集從<math>{ \ S^2 }</math>上移除的話，那剩下的部分可分成三個不相交的集合<math>A</math>、<math>B</math>與<math>{ C }</math>，其中<math>A</math>、<math>B</math>、<math>{ C }</math>與<math>{ B \cup C }</math>都彼此[[全等]]；特別地，這指出在<math>{ \ S^2 }</math>上，不存在定義於所有子集上且具有有限可加性的[[測度]]使得所有全等子集的測度彼此相等，而這是因為若有這樣的測度的話，那麼<math>{ B \cup C }</math>就會同時是整個球的非零測度的<math>1/3</math>、<math>1/2</math>及<math>2/3</math>。

這悖論最早於1914年出現於《{{link-en|Mathematische Annalen|}}》及豪斯多夫同年出版的著作《{{link-en|集合論基礎|Grundzüge der Mengenlehre}}》當中；而更加有名的[[巴拿赫-塔斯基定理]]，其證明基於豪斯多夫的想法，而這悖論的證明基於[[選擇公理]]。

這悖論指出，沒有任何有定義於球面上的限可加的測度，其值對所有彼此全等的子集相等（豪斯多夫同時也證明了沒有可以定義於所有子集上的可數可加測度），而[[旋轉群|球旋轉所構成的群]]的結構在此扮演了關鍵角色─而這敘述在平面或線段上不成立；事實上，[[斯特凡·巴拿赫|巴拿赫]]後來證明說<ref>Stefan Banach, [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm412.pdf "Sur le problème de la mesure"] {{Wayback|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm4/fm412.pdf |date=20220306022232 }}, Fundamenta Mathematicae 4: pp. 7&ndash;33, 1923; Banach, [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes"] {{Wayback|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf |date=20211011160137 }}, Theorem 16, Fundamenta Mathematicae 6: pp. 244&ndash;277, 1924.</ref>，對歐幾里得平面上的'''所有'''有界子集而言，定義一個使得所有彼此全等的子集都有著相等的測度的「面積」是可能的（這點對實數線上的「長度」一樣成立）；然而這個{{link-en|巴拿赫測度|Banach measure}}僅具有有限可加性，因此這不是完全意義上的測度，但對於「使得所有彼此全等的子集都有著相等的測度」這性質而言，這測度與[[勒貝格測度]]相等，而這表示說兩個在平面或實數上等可分解的（equi-decomposable）開集具有相同的面積。

==參見==
* [[巴拿赫-塔斯基定理]]

==註解==
<references />

== 延伸閱讀 ==
* {{cite journal| author=Hausdorff, Felix| title=Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen| journal=Mathematische Annalen| year=1914| volume=75| pages=428–434| url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0075| doi=10.1007/bf01563735| access-date=2022-07-14| archive-date=2022-02-14| archive-url=https://web.archive.org/web/20220214214144/https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0075}} (Original article; in German)
*{{cite book | first=Felix | last=Hausdorff | title=Grundzüge der Mengenlehre | year=1914 |language=de |url = https://archive.org/details/grundzgedermen00hausuoft/page/n7/mode/2up }}

== 外部連結 ==
* [https://proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Paradox ProofWiki上的豪斯多夫悖論] {{Wayback|url=https://proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Paradox |date=20210506205506 }}

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[[Category:测度论]]