查看“︁谱定理”︁的源代码

{{noteTA
|G1 = Math
|1 = zh-hans:复内积空间; zh-hant:複內積空間
}}
[[数学归纳法|数学]]上，特别是[[线性代数]]和[[泛函分析]]中，'''谱定理'''（英語：Spectral theorem）是关于[[线性算子]]或者[[矩阵]]的一些结果。泛泛来讲，谱[[定理]]给出了[[算子]]或者矩阵可以[[可對角化矩陣|对角化]]的条件（也就是可以在某个基底中用[[对角矩阵]]来表示）。对角化的概念在有限维空间中比较直接，但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常，谱定理辨认出一族可以用[[乘法算子]]来代表的[[线性算子]]，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换[[C*-代数]]的命题。参看[[谱分析]]中的历史观点。

可以应用谱定理的例子有[[希尔伯特空间]]上的[[自伴算子]]或者更一般的[[正规算子]]。

谱定理也提供了一个算子所作用的向量空间的[[标准]]分解，称为'''谱分解'''，'''特征值分解'''，或者'''[[特徵分解]]'''。

本条目中，主要考虑谱定理的简单情况，也就是希尔伯特空间上的[[自伴]]算子。但是，如上文所述，谱定理也对希尔伯特空间上的正规算子成立。

==有限维的情况==<!-- This section is linked from [[Singular value decomposition]] -->

===埃尔米特矩阵===

从在具有标准埃尔米特[[内积]]的有限维[[实数|实]]或者[[复数 (数学)|-{zh-hans:复; zh-hant:複}-]][[内积空间]]<math>V</math>上的[[埃尔米特矩阵]]<math>A</math>开始；埃尔米特条件意味着

:<math>  \langle A x ,\, y \rangle =  \langle x ,\, A y \rangle </math>

对于所有<math>V</math>的元素<math>x,y</math>成立。

一个等价的条件是<math>A^* =A</math>，其中<math>A^*</math>是<math>A</math>的[[共轭转置]]。若''<math>A</math>''为实矩阵，这等价于<math>A^T=A</math>（也即，<math>A</math>是[[对称矩阵]]）。埃尔米特矩阵的特征值是实数。

先回顾一下线性算子''A''的[[特征向量]]是（非零）向量<math>x</math>使得<math>Ax=\lambda x</math>对于某个标量<math>\lambda</math>成立。值<math>\lambda</math>是相应的[[特征值]]。

'''定理'''：当''<math>A</math>''是埃尔米特矩阵, 存在[[标准正交基]]''<math>V</math>''，由''<math>A</math>''的特征向量组成。且''<math>A</math>''每个特征值都是实数。

====证明====

这里给出[[复数 (数学)|复数]]情况的证明概要。

根据[[代数基本定理]]，任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值。若''<math>A</math>''为埃尔米特矩阵，有特征向量<math>e_1</math>，考虑子空间<math>K=\mathrm{span}\left \{ e_1 \right \}^\perp</math>，也即<math>e_1</math>的正交补空间。根据埃尔米特性，<math>K</math>为''<math>A</math>''的[[不变子空间]]。在''<math>K</math>''上采用同样的论证表明''<math>A</math>''有特征向量<math>e_2\in k</math>。通过有限归纳法可以完成证明。

谱定理对于 [[欧几里得空间|''n ''维欧几里得空间]]上的对称矩阵也成立，但是特征向量的存在性更难一些。实对称矩阵有实特征值，因此特征向量有实项。

若取''<math>A</math>''的特征向量为标准正交基，''<math>A</math>''在这个基上的表示是对角的。等价地，''<math>A</math>''可以写作互相正交的投影的线性组合，称为它的'''谱分解'''。令

:<math> V_\lambda = \{\,v \in V: A v = \lambda v\,\}</math>

为对应于特征值<math>\lambda</math>的特征空间。注意该定义不依赖于特定特征向量的选择。''<math>V</math>''是空间<math>V_\lambda</math>的直积，其中下标取遍特征值。令<math>P_\lambda</math>为到<math>V_\lambda</math>上的[[正交投影]]，而<math>\lambda_1,\ldots,\lambda_m</math>为''<math>A</math>''的特征值，谱分解可以写作：

:<math>A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_m P_{\lambda_m}.</math>

谱分解是[[舒尔分解]]的特例。也是[[奇异值分解]]的特例。

===正规矩阵===

谱定理可以推广到更为一般的矩阵。令''<math>A</math>''为有限维内积空间上的算子。''<math>A</math>''称为[[正规算子]]若<math>A^*\ A=A\ A^*</math>。可以证明''<math>A</math>''正规当且仅当它可以酉对角化：根据[[舒尔分解]]，<math>A=U\ T\ U^*</math>，其中<math>U</math>是酉矩阵而<math>T</math>是上三角阵。
因为''<math>A</math>''正规，<math>T\ T^*=T^*\ T</math>，所以<math>T</math>必定是对角的。反过来也是显然的。

换言之，<math>A</math>正规当且仅当存在[[酉矩阵]]<math>U</math>使得

:<math>A=U \Lambda U^* \;</math>

其中<math>\Lambda</math>是[[对角矩阵]]，其各项为''<math>A</math>''的[[特征值]]。''<math>U</math>''的列向量是''<math>A</math>''的特征向量，而且他们是单位正交的。和埃尔米特的情况不同，''<math>A</math>''的对角项未必为实数。

==紧自伴算子的谱定理==
{{main|希尔伯特空间上的紧自伴算子}}
一般来讲，希尔伯特空间中的关于[[紧算子|紧]][[自伴算子]]的谱定理和有限维的基本一样。

'''定理'''：设''<math>A</math>''为希尔伯特空间<math>V</math>上的紧自伴算子。存在''<math>V</math>''的[[标准正交基]]，由''<math>A</math>''的特征向量构成。每个特征值都是实数。

对于埃尔米特矩阵，关键在于存在至少一个非零向量。要证明这一点，不能靠行列式来表明特征值的存在，而是要使用极大化论证，类似于特征值的变分表述。上述谱定理对于实或虚希尔伯特空间都成立。

如果紧性假设被取消，则未必每个自伴算子都有特征。

==有界自伴算子的谱定理==

{{seealso|本征函数}}

接下来的推广是希尔伯特空间''<math>V</math>''上的[[有界算子|有界]]自伴算子''<math>A</math>''。这样的算子可能没有特征值：例如令''<math>A</math>''为<math>L^2[0,1]</math>上乘以<math>t</math>的算子，也即

:<math> [A \varphi](t) = t \varphi(t). \;</math>

'''定理'''：令''<math>A</math>''为希尔伯特空间<math>H</math>上有界自伴算子。则存在[[测度空间]]<math>(X,\Sigma,\mu)</math>和<math>X</math>上实值可测函数<math>f</math>，以及酉算子<math>U:H\rightarrow {L^2}_\mu(X)</math>使得

:<math> U^* T U = A \;</math>

其中<math>T</math>是[[乘法算子]]：

:<math> [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). \;</math>

这是称为[[算子理论]]的泛函分析这个巨大的研究领域的起点。

对于希尔伯特空间上的有界[[正规算子]]也有一个类似的谱定理。结论中唯一的区别在于<math>f</math>可能是复值的。

谱定理的另一个表述形式将算子<math>A</math>表达为在算子[[特征值#无穷维|谱]]上的坐标函数关于[[投影值测度]]的积分。当该正规算子是[[紧算子|紧]]的，这个版本的谱定理退化为上面的有限维谱定理，只是算子表达为可能为无限多的投影的线性组合。

==一般自伴算子的谱定理==

很多[[数学分析]]中的重要线性算子，例如[[微分算子]]，是无界的。对于这类情况的[[自伴算子]]也有一个谱定理。例如，任何常系数微分算子酉等价于乘法算子。事实上，实现这一等价的酉算子就是[[傅立叶变换]]；该乘法算子是一类[[乘子 (傅立叶变换)|傅立叶乘子]]。

==参看==

* [[矩阵分解]]
* [[标准型]]
* [[若尔当标准型|若尔当分解]]，谱分解是其特例。
* [[奇异值分解]]，谱定理到任意矩阵的推广。
* [[矩阵特征分解]]

==参考==

* Sheldon Axler, ''Linear Algebra Done Right'', Springer Verlag, 1997
* [[Paul Halmos]], "What Does the Spectral Theorem Say?", ''American Mathematical Monthly'', volume 70, number 3 (1963), pages 241–247
{{泛函分析}}
[[Category:线性代数定理|P]]
[[Category:矩阵论]]
[[Category:奇异值分解]]
[[Category:算子理论|*]]
[[Category:谱理论]]