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{{NoteTA
|G1=Math
}}
在[[群论]]中，'''诺特群'''({{lang-en|Noetherian group}})是指[[群]]使得其[[子群]]满足[[升链条件]]。

== 定义 ==
设<math>G</math>是一个[[群]]。那么以下条件等价，满足此条件的群称为'''诺特群'''。
* <math>G</math>的[[子群]][[格 (数学)|格]] <math>\operatorname{Sub}(G)</math>满足[[升链条件]]。
* <math>G</math>的所有子群都是[[有限生成群]]。

== 性质 ==
=== 关于诸运算的封闭性 ===
诺特群的[[子群]]以及[[商群]]是诺特群。诺特群被诺特群的[[群扩张|扩张]]仍是诺特群。

=== 诺特可解群 ===
对于群<math>G</math>，以下条件等价。<ref name="Robinson" />{{rp|165}}
* <math>G</math>是[[可解群]]，并且是诺特群。
* 存在<math>G</math>的子群列<math>1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_n=G</math>，使得对于每个<math>i=0,\dots,n-1</math>有<math>G_i\vartriangleleft G_{i+1}</math>且<math>G_{i+1}/G_i</math>是[[循环群]]。
满足这个条件的群称为'''[[多循环群]]'''。

对于[[幂零群]]<math>G</math>，以下条件等价。<ref name="Robinson" />{{rp|145}}
* <math>G</math>是诺特群。
* <math>G</math>是[[有限生成群]]。

== 例 ==
所有[[有限群]]都是诺特群。所有[[有限生成群|有限生成]][[幂零群]]是[[多循环群]]从而是诺特群。<ref name="Robinson">{{cite journal
|first=Derek S.
|last=Robinson
|title=Joins of subnormal subgroups
|url=https://archive.org/details/sim_illinois-journal-of-mathematics_1965-03_9_1/page/144
|language=en
|journal=Illinois Journal of Mathematics
|volume=9
|pp=144–168
|date=1965
|issn=0019-2082
|mr=0170953
|zbl=0135.04805
}}</ref>{{rp|145}}

[[多循环群]]被[[有限群]]的[[群扩张|扩张]]是诺特群。其逆不成立，也就是说一个诺特群可能不具有[[子群的指数|指数]]有限的[[多循环群|多循环]][[正规子群]]。但这样的反例的构造是相当复杂的。

== 历史 ==
诺特群的名称取自[[埃米·诺特]]。不是[[多循环群]]被[[有限群]]的[[群扩张|扩张]]的诺特群由[[亚历山大·奥利尚斯基]]在一篇1979年论文中首次构造。<ref name="Ольшанский">{{cite journal
|url=https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1758&option_lang=rus
|first1=А. Ю.
|last1=Ольшанский
|title=Бесконечная простая нётерова группа без кручения
|language=ru
|journal=Известия Академии наук СССР. Серия математическая
|volume=43
|issue=6
|pp=1328–1393
|date=1979
|issn=0373-2436
|doi=10.1070/IM1980v015n03ABEH001268
|mr=0567039
|zbl=0431.20027
|access-date=2022-12-20
|archive-date=2022-12-20
|archive-url=https://web.archive.org/web/20221220115752/https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1758&option_lang=rus
|dead-url=no
}}</ref><ref name="Ol'šanskiĭ">{{cite journal
|url=https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1758&option_lang=eng
|first1=A. J.
|last1=Ol'šanskiĭ
|title=An infinite simple Noetherian group without torsion
|language=en
|journal=Mathematics of the USSR-Izvestiya
|volume=15
|issue=3
|pp=531–588
|date=1980
|issn=0025-5726
|doi=10.1070/IM1980v015n03ABEH001268
|mr=0567039
|zbl=0431.20027
|access-date=2022-12-20
|archive-date=2022-12-20
|archive-url=https://web.archive.org/web/20221220115800/https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1758&option_lang=eng
|dead-url=no
}}</ref>

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* {{eom|title=Noetherian group}}
* {{eom|title=Polycyclic group}}
* {{cite web|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Noetherian_group|title=Noetherian group|language=en|website=Groupprops|access-date=2022-12-20|archive-date=2022-12-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20221206233122/https://groupprops.subwiki.org/wiki/Noetherian_group|dead-url=no}}
* {{cite web|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Polycyclic_group|title=Polycyclic group|language=en|website=Groupprops|access-date=2022-12-20|archive-date=2022-12-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20221220115746/https://groupprops.subwiki.org/wiki/Polycyclic_group|dead-url=no}}

[[分类:群论]]