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{{NoteTA|G1=P|G2=Math
|1=zh-cn:求导;zh-tw:微分}}
'''[[埃米·诺特|诺特]]定理'''是[[理论物理]]的中心结果之一，它表达了每个连续[[对称性]]都有着相应的[[守恒定律]]。例如，物理定律不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。舉例來說，若現實中重力的强度每天都有所改变，就會违反能量守恒定律，因为觀察者可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比一开始输入的更多的能量。

诺特定理对于所有基于[[作用量|作用量原理]]的[[物理定律]]是成立的。它得名于20世纪初的数学家[[埃米·诺特]]。诺特定理和[[量子力学]]深刻相关，因为它仅用[[经典力学]]的原理就可以认出和[[海森堡测不准原理]]相关的物理量（譬如[[位置向量|位置]]和[[动量]]）。

== 定理的数学表述 ==
对该定理一种比较完善的表述方法为：

:对于每个局部作用下的可微[[对称性]]，存在一个对应的{{le|守恒流|Conserved current}}。

=== 解释 ===

上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维[[李群]]作用下所满足的[[廣義協變性|协变性]]。[[物理量]]的[[守恒定律]]通常用[[连续性方程]]表达。

定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无[[散度]]向量场。

== 应用 ==

诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如：

* 对于物理系统对于空间[[平移]]的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了[[动量]]的守恒律；
* 对于[[转动]]的不变性给出了[[角动量]]的守恒律；
* 对于[[时间]]平移的不变性给出了著名的[[能量守恒定律]]。

在[[量子场论]]中，和诺特定理相似，[[沃德-高桥恒等式]]（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从[[电势]]和[[向量势]]的[[规范不变性]]得出[[电荷]]的守恒。

诺特荷也被用于计算静态黑洞的[[熵]]{{fn|1}}。

== 证明 ==

设有一个n维[[流形]]M以及一个目标流形T。令<math>\mathcal{C}</math>为从M到T的[[光滑函数]]组成的[[位形空间]]。（更一般的情况下，可以有一个M上的[[纤维丛]]的光滑截面）

物理学中这样的"M"的例子包括：
* [[经典力学]]上，[[哈密顿力学|哈密顿]]表述中，M是一个一维流形'''R'''，代表时间而目标空间是广义位置的[[空间]]的[[余切丛]]。
* [[场论]]中，M是[[时空]]流形，而目标空间是场在任何给定可取的值的集合。例如，如果有m个[[实数|实]]值[[标量场]]，φ<sub>1</sub>,...,φ<sub>m</sub>，则目标流形是'''R'''<sup>m</sup>。若流形是一个实向量场，则目标流形[[同构]]于'''R'''<sup>3</sup>。

现在设有一个[[泛函]]

:<math>S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R},</math>

称为[[作用量]]。（注意它在<math>\mathbb{R}</math>中而非<math>\mathbb{C}</math>中取值；这是有物理原因的，并且并不影响本证明。）

要得到通常版本的诺特定理，需要对[[作用量]]作额外的限制。假设S[φ]是M上的如下函数的积分

:<math>\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi,x)</math>

称为[[拉格朗日量]]，它依赖于φ，包括它在各点的[[导数]]和位置。换句话说，
对于<math>\mathcal{C}</math>中的φ

:<math> S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}[\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x),x].</math>

若能给出[[边界条件]]，也即，在M为[[紧致]]的情况下φ在边界的取值，或者在x趋向∞时，φ的极限。则<math>\mathcal{C}</math>的由满足如下两个条件的φ组成的子空间就是[[在壳]]解的子空间，其一是φ的S的[[泛函导数]]为零，也即：
:<math>\frac{\delta}{\delta \phi(x)}S[\phi]=0</math> 
其二是φ满足给定边界条件。（参看[[最小作用量原理|稳定作用量原理]]）

现在，假设有一个[[无穷小变换]]，定义在<math>\mathcal{C}</math>上，它由一个[[泛函]][[求导]]Q生成，满足

:<math>Q\left[\int_N d^nx\mathcal{L}\right]=\int_{\partial N}ds_\mu f^\mu[\phi(x),\partial\phi,\partial\partial\phi,...]</math>

对于所有[[紧致]]子流形N成立，换句话讲（散度定理），

:<math>Q[\mathcal{L}(x)]=\partial_\mu f^\mu(x)</math>

对于所有''x''成立，其中令<math>\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}[\phi(x), \partial_\mu \phi(x),x]</math>。

若这在[[在壳]]和[[离壳]]都成立，則称''Q''生成一个离壳对称性。若只在在壳情况成立，称''Q''生成在壳对称性。
並且，称''Q''是[[单参数群|单参数]][[对称性]][[李群]]的生成元。

现在，对于每个''N''，因为[[欧拉-拉格朗日方程]]，[[在壳]]（只有在壳）上，可以有


:{|
|-
|<math>Q\left[\int_N d^nx\mathcal{L}\right]</math>
|<math>=\int_Nd^nx\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}-
\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right]Q[\phi]+
\int_{\partial N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]
</math>
|-
|
|
<math>=\int_{\partial N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi].
</math>
|}
因为这对于所有''N''成立，所以有

:<math>
\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu\right]=0.
</math>

但这无非就是对于如下的流的[[连续性方程]]
:<math>
J^\mu\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu
</math> 
这被称为和该[[对称性]]相关的'''诺特流（Noether current）'''。该连续性方程说明如果对这个流在空间式切片上[[积分]]，就可以得到称为[[诺特荷]]的[[守恒定律|守恒]]量（当然，必须假定M非[[紧致]]时，该流趋向无穷远处时下降足够快）。

=== 评论 ===

诺特定理实际上是边界条件和变分原理的关系的反映。假设作用量没有边界项，诺特定理意味着

:<math>\int_{\partial N}ds_\mu J^\mu=0.</math>

诺特定理是一个[[在壳]]定理。诺特定理的量子化版本是[[沃德-高桥恒等式]]。

假定有两个对称性求导Q<sub>1</sub>和Q<sub>2</sub>。则[Q<sub>1</sub>,Q<sub>2</sub>]也是一个对称性求导。显式地来看


:<math>Q_1[\mathcal{L}]=\partial_\mu f_1^\mu</math> 

及
:<math>Q_2[\mathcal{L}]=\partial_\mu f_2^\mu</math> 

(这个是否[[离壳]]或仅仅[[在壳]]成立无关紧要）。则，

:<math>[Q_1,Q_2][\mathcal{L}]=Q_1[Q_2[\mathcal{L}]]-Q_2[Q_1[\mathcal{L}]]=\partial_\mu f_{12}^\mu</math>

其中f<sub>12</sub>=Q<sub>1</sub>[f<sub>2</sub><sup>μ</sup>]-Q<sub>2</sub>[f<sub>1</sub><sup>μ</sup>]。所以，

:<math>j_{12}^\mu=\left(\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right)(Q_1[Q_2[\phi]]-Q_2[Q_1[\phi]])-f_{12}^\mu.</math>

这表明可以（简单地）将诺特定理扩张到更大的李代数上。

=== 证明的一般化 ===

这个推理可以应用到''任何''求导过程Q，不只是对称性求导，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依赖于场的更高阶的导数以及非局部作用量的情况。令ε为任意时空（或时间）流形的光滑函数，满足其支撑的闭包和边界不交。ε是一个测试函数。则根据变分原理（附带说一下，它''不''适用于边界），由q[ε][φ(x)]=ε(x)Q[φ(x)]生成的求导分布q满足q[ε][S]=0对于任何[[在壳]]的ε成立，或者可以简写为q(x)[S]对于所有不在边界上的x（注意q(x)是求导''分布''的简写，通常不是用x参数化的求导）。这就是诺特定理的一般化。

要看出这个一般化和上面的版本如何对应，可以假设作用量就是只依赖于φ及其一阶导数的时空积分。并且，假设

:<math>Q[\mathcal{L}]=\partial_\mu f^\mu</math> 

（离壳或仅仅在壳都可以）。则，

:<math>q[\epsilon][S]=\int d^dx q[\epsilon][\mathcal{L}]</math>
:::<math>=\int d^dx \left(\frac{\partial}{\partial \phi}\mathcal{L}\right) \epsilon Q[\phi]+ \left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \phi)}\mathcal{L}\right]\partial_\mu(\epsilon Q[\phi])
</math>
:::<math>=\int d^dx \epsilon \partial_\mu \Bigg\{f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]\Bigg\}</math> 

对于所有ε成立。

更一般地讲，如果拉格朗日量依赖于高阶导数，则

:<math>\partial_\mu\left[f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]-2\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \phi)}\right]\partial_\nu Q[\phi]+\partial_\nu\left[\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \phi)}\mathcal{L}\right] Q[\phi]\right]-\,\cdots\right]=0.</math>

== 例子 ==

=== 例1：能量守恒 ===
考慮一个特殊情况：<br><br>
设有一个质量为''m''，坐标为''x''，在势能''V''影响下运动，坐标为''t''的牛顿粒子。其[[作用量]]''S''为：

:{|
|-
|<math>S[x]\,</math>
|<math>=\int \mathcal{L}[x(t),\dot{x}(t)] dt </math>
|-
|
|<math>=\int \left\{\frac{m}{2}g_{ij}\dot{x}^i(t)\dot{x}^j(t)-V[x(t)]\right\} dt </math>
|}
（也即，在一个弯曲黎曼空间（但不是弯曲时空）中运动的一个牛顿质点，该空间度量为''g''，质点势能为''V''）。

取''Q''为时间平移的生成元。换句话说，<math>Q[x(t)]=\dot{x}(t)</math>。 [量子场理论学家经常在方程右边加上一个因子''i'']。 注意

:<math>Q[\mathcal{L}]=m g_{ij}\dot{x}^i\ddot{x}^j-\frac{\partial}{\partial x^i}V(x)\dot{x}^i.</math>

这有如下形式

:<math>\frac{d}{dt}\left[\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x)\right]</math> 

所以可以令

:<math>f=\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x).</math>

则，

:{|
|-
|<math>j\,</math>
|<math>=\left(\frac{\partial}{\partial
\dot{x}^i}\mathcal{L}\right)Q[x]-f</math>
|-
|
|<math>=m g_{ij}\dot{x}^j\dot{x}^i-\left[\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x)\right]</math>
|-
|
|<math>=\frac{m}{2}g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j+V(x).</math> 
|}

可以认出右边就是能量，而诺特定理就是说<math>\dot{j}=0</math> （也即，能量守恒就是时间平移的不变性的结果）。

更一般的来讲，若拉格朗日量不显式依赖于时间，如下物理量

:<math>\sum_i \left (\frac{\partial}{\partial \dot{x}^i}\mathcal{L}\right )\dot{x^i}-\mathcal{L}</math> 

（称为[[哈密顿力学|哈密顿量]]）是守恒的。

=== 例2：线性动量守恒 ===
继续使用一维时间。这次，令

:{|
|-
|<math>S[\vec{x}]\,</math>
|<math>=\int dt \mathcal{L}[\vec{x}(t),\dot{\vec{x}}(t)]</math>
|-
|
|<math>=\int dt \left [\sum^N_{\alpha=1} \frac{m_\alpha}{2}(\dot{\vec{x}}_\alpha)^2 -\sum_{\alpha<\beta} V_{\alpha\beta}(\vec{x}_\beta-\vec{x}_\alpha)\right]</math>
|}

也即''N''个势能只依赖于两两相对位移的牛顿质点。

对于<math>\vec{Q}</math>，考虑平移变换的生成元（也即坐标系的变换）。换句话说，

:<math>Q_i[x^j_\alpha(t)]= \delta^j_i.</math>

注意

:<math>Q_i[\mathcal{L}]=0 </math>

所以令

:<math>\vec{f}=0.</math>

则，

:<math>\vec{J_i}=\sum_\alpha \left(\frac{\partial}{\partial \dot{\vec{x}}_\alpha}\mathcal{L}\right)\cdot\vec{Q}[\vec{x}_\alpha]-\vec{f}</math> 

::<math>=\sum_\alpha m_\alpha \dot{\vec{x}}_\alpha^i</math> 

诺特定理表明<math>\dot{\vec{J_i}}=0</math> (说明每个方向上的总动量守恒来自该方向上的平移不变性).

=== 例3 ===
上面的两个例子都是在一维流形（时间）上的。下面来探討一个时空中的例子，若考虑(3＋1)-[[闵可夫斯基时空]]中的无质量有一个四次势的标量场的[[共形变换]]。
:{|
|-
|<math>S[\phi]\,</math>
|<math>=\int d^4x \mathcal{L}[\phi (x),\partial_\mu \phi (x)]</math>
|-
|
|<math>=\int d^4x \left( \frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\lambda \phi^4\right )</math>
|}

取''Q''为时空缩放的生成元。换句话说，

:<math>Q[\phi(x)]=x^\mu\partial_\mu \phi(x)+\phi(x).</math>

右手边的第二项是由于φ的“共形权重”。注意

:<math>Q[\mathcal{L}]=\partial^\mu\phi\left(\partial_\mu\phi+x^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi+\partial_\mu\phi\right)-4\lambda\phi^3\left(x^\mu\partial_\mu\phi+\phi\right).</math>

这有以下形式（其中进行了空指标的变换）

:<math>\partial_\mu\left[\frac{1}{2}x^\mu\partial^\nu\phi\partial_\nu\phi-\lambda x^\mu\phi^4\right]=\partial_\mu\left(x^\mu\mathcal{L}\right)</math>

並令以下

:<math>f^\mu=x^\mu\mathcal{L}.\,</math>

则， 

:<math>j^\mu=\left[\frac{\partial}{\partial
(\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]-f^\mu</math>
:<math>=\partial^\mu\phi\left(x^\nu\partial_\nu\phi+\phi\right)-x^\mu\left(\frac{1}{2}\partial^\nu\phi\partial_\nu\phi-\lambda\phi^4\right).</math>

诺特定理表明<math>\partial_\mu j^\mu=0</math> （可以直接将欧拉－拉格朗日方程代入左边验证）。

（註：如果要找出该方程的[[沃德-高桥恒等式|沃德-高桥]]版本，会遇到异常问题。）

== 参看 ==
{{portal box|物理學}}
* [[荷 (物理)]]
* [[拉普拉斯-龍格-冷次向量#諾特定理|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]
* [[诺特第二定理]]

== 参考 ==
* [http://arxiv.org/pdf/physics/0503066 诺特论文的英文译本]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html 关于诺特定理的文章（英文）]{{Wayback|url=http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html |date=20060903012955 }}，作者[[John Baez]]
* [https://web.archive.org/web/20110514080739/http://www.physics.ucla.edu/~cwp/articles/noether.asg/noether.html 诺特关于对称性和守恒定律之间的深刻关系的发现]，作者[[Nina Byers]]
* {{fnb|1}} [http://arxiv.org/abs/gr-qc/9503052 计算静态黑洞的熵（英文）]{{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/gr-qc/9503052 |date=20170510144028 }}
* {{fnb|2}} [http://arxiv.org/abs/hep-th/0602190 只用诺特定理得出麦克斯韦，杨－米尔斯和理论中的对称能动张量]{{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/hep-th/0602190 |date=20170510144046 }}

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