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18世纪60年代，[[约翰·海因里希·朗伯]]首先证明出[[圆周率]]为[[无理数]]，即不能表示成两个整数之比。在19世纪，[[夏尔·埃尔米特]]给出了不需要[[微积分]]以外的预备知识的证明方法，此后又有{{tsl|en|Mary Cartwright|玛丽·卡特赖特}}、[[伊万·尼云]]以及[[尼古拉·布尔巴基]]等人给出更为简洁的证明。另外由[[拉茨科维奇·米克洛什]]的证明方法简化了朗伯的证明方法。这些所给出证明方法都基于[[反证法]]。

1882年，[[费迪南德·冯·林德曼]]进一步给出圆周率不仅为无理数，而且为[[超越数]]的证明。

==朗伯的证明==

1761年，朗伯通过如下所示的[[连分数]]来证明圆周率为无理数：

:<math>\tan x=\frac x{1-\dfrac{x^2}{3-\dfrac{x^2}{5-\dfrac{x^2}{7-\ddots}}}}</math>

随后朗伯证明了如果''x''为非零有理数则该结果必为无理数。由于tan(π/4)=1，因此有π/4为无理数，即π为无理数。

[[Category:圆周率]]

==卡特赖特的证明==

考虑如下积分：

:<math>I_n(x)=\int_{-1}^1(1-z^2)^n\cos(xz)\mathrm dz</math>

当''n''≥2时，可以通过[[分部积分法]]得到递推式：

:<math>x^2I_n(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)</math>

如果定义：

:<math>J_n(x)=x^{2n+1}I_n(x)</math>

那么可以得到：

:<math>J_n(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^2J_{n-2}(x)</math>

另外，由''J''<sub>0</sub>(''x'')=2sin ''x''以及''J''<sub>1</sub>=-4''x'' cos ''x''+4sin ''x''，于是对于所有自然数''n''满足：

:<math>J_n(x)=x^{2n+1}I_n(x)=n![P_n(x)\sin x+Q_n(x)\cos x]</math>

在这里''P''<sub>''n''</sub>(''x'')与''Q''<sub>''n''</sub>(''x'')都是由正整数为系数以及常数且最高次数不超过''n''的[[多项式]]（依赖于''n''）。

令''x''=π/2，如果存在正整数''a''与''b''满足π/2=''a''/''b''，于是有：

:<math>\frac{a^{2n+1}}{n!}\cdot I_n\left(\frac\pi2\right)=P_n\left(\frac\pi2\right)\cdot b^{2n+1}</math>

等式右边为整数。而由于在长度为2的区间[-1,1]时，被积函数取值范围介于0到1，于是有0<''I''<sub>''n''</sub>(''x'')<2，另一方面：

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a^{2n+1}}{n!}=0</math>

于是对于足够大的''n''，会出现：

:<math>0<\frac{a^{2n+1}\cdot I_n\left(\frac\pi2\right)}{n!}<1</math>

但在0与1之间不存在整数，矛盾，因此圆周率只能为无理数。

==尼云的证明==

此证明用到的性质为圆周率为[[正弦函数]]最小正零点。

假设圆周率为有理数，即能表示成π=''a''/''b''的形式，其中''a''与''b''都是整数且''b''≠0。[[不失一般性]]，假定''a''与''b''都是正整数。现给出任意正整数''n''，以及''x''为实数，定义如下两个函数：

:<math>
\begin{align}
f(x)&=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\\
F(x)&=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)+\cdots+(-1)^nf^{(2n)}(x)
\end{align}
</math>

'''引理一：'''-{}-''F''(0)+''F''(π)是一个整数。

'''证明：'''对函数''f''展开，每项''x''<sup>''k''</sup>的系数都是''c''<sub>''k''</sub>/''n''!的形式，其中''c''<sub>''k''</sub>为整数，当''k''<''n''时等于0。因此，当''k''<''n''时''f''<sup>(''k'')</sup>(0)=0以及当''n''≤''k''≤2''n''时''f''<sup>(''k'')</sup>(0)=''c''<sub>''k''</sub>/''n''!，即无论何种情况''f''<sup>(''k'')</sup>(0)都是整数，于是''F''(0)也是整数。

另一方面，由于''f''(π-''x'')=''f''(''x'')，因此对于每个自然数''k''有(-1)<sup>''k''</sup>''f''<sup>(''k'')</sup>(π-''x'')=''f''<sup>(''k'')</sup>(''x'')，特别地即有(-1)<sup>''k''</sup>''f''<sup>(''k'')</sup>(π)=''f''<sup>(''k'')</sup>(0)，因此''f''<sup>(''k'')</sup>(π)为整数，''F''(π)也是整数，从而得到''F''(0)+''F''(π)是一个整数。

'''引理二：'''

:<math>\int_0^\pi f(x)\sin x\mathrm dx=F(0)+F(\pi)</math>

'''证明：'''由于''f''<sup>(2''n''+2)</sup>为零多项式，因此有：

:<math>F''(x)+F(x)=f(x)</math>

根据[[三角函数]]的[[导数]]有sin'=cos以及cos'=-sin，再由[[乘积法则]]得到：

:<math>[F'(x)\sin x-F\cos x]'=f(x)\sin x</math>

又由[[微积分基本定理]]得：

:<math>\int_0^\pi f(x)\sin x\mathrm dx=[F'(x)\sin x-F\cos x]\bigg|_0^\pi=F(0)+F(\pi)</math>

在这里用到了前面所提及的圆周率的正弦函数零点性质，即sin 0=sin π=0以及cos 0=-cos π=1。

'''结论：'''由于当0<''x''<π时有''f''(''x'')>0以及sin ''x''>0（在这里是因为圆周率为正弦函数最小正零点），以及引理一与引理二说明''F''(0)+''F''(π)是正整数。又由于当0≤''x''≤π时有0≤''x''(''a''-''bx'')≤π''a''以及0≤sin ''x''≤1，因此可以得到：

:<math>\int_0^\pi f(x)\sin x\mathrm dx\leqslant\frac{\pi(\pi a)^n}{n!}</math>

当''n''足够大时，该结果将会小于1，于是有''F''(0)+''F''(π)<1，从而出现矛盾。
==参见==

*[[E (数学常数)#無理數證明|证明e是无理数]]