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|1=zh-hans:闵可夫斯基; zh-hant:閔考斯基;
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{{refimprove|time=2010-01-02T05:57:06+00:00}}

在[[分形几何]]中, 计盒维数也称为'''盒维数'''、'''[[赫尔曼·闵可夫斯基|闵可夫斯基]]维数'''，是一种测量[[距离空间]](''X'', ''d'')（特别是[[豪斯多夫空间]]）比如[[欧氏空间]] '''R'''<sup>''n''</sup> 中[[分形维数]]的计算方法。

要计算分形 ''S'' 的维数，你可以想象一下把这个分形放在一个均匀分割的网格上，数一数最小需要几个格子来[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]这个分形。通过对网格的逐步精化，查看所需覆盖数目的变化，从而计算出计盒维数。

假设当格子的边长是 ''ε'' 时，总共把空间分成 ''N'' 个格子，那么计盒维数就是：

:<math>\dim_{\rm box}(S) := \lim_{\varepsilon \to 0} \frac {\log N(\varepsilon)}{\log (1/\varepsilon)}</math>

当[[极限]]不收敛时，我们必须指出顶盒维数或底盒维数，或者说，计盒维数仅在和顶盒维数与底盒维数相等时才是有定义的。顶盒维数也称为'''能量维数'''、'''科莫格洛夫维数'''、'''科莫格洛夫容积'''，或者'''闵可夫斯基上界维数'''，类似的可定义'''闵可夫斯基下界维数'''。

计盒维数以及顶盒维数、底盒维数都和更常用的[[豪斯多夫维数]]有关，而且它们通常是一致的，只有在极特别的情况下才有区别。更详细的区别参考[[#与豪斯多夫维数的关系|下文]]。另一个分形维的度量是{{tsl|en|Correlation dimension|关联维数}}。

== 定义的变化 ==
盒子可以是方的，也可以是圆的，我们可以用半径为 ε 的球来[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]空间，并逐步减小球的半径。使用球的好处是，它比方形的数学形式更简单，并且更容易应用到更一般的[[距离空间]]，而方形仅在[[欧几里德空间]]中才有直观的定义。

而使用方形的格子也有它的好处，在很多情况下方格的 ''N'' (ε) 计算更简单，并且盒子的数目和它的覆盖数是相等的，而同样的覆盖数，需要更多个球。

== 与豪斯多夫维数的关系 ==
计盒维数是定义分形维的若干种方法之一。对于很多定义良好的分形来说，这些不同分数维的值是相等的。特别是当分型满足{{tsl|en|Hausdorff dimension#The open set condition|开集条件}}时，这些维数一致。比如说，对[[康托集]]来说，它的[[豪斯多夫维数]]、底盒维数、顶盒维数都等于 log(2)/log(3)。然而它们的定义是不同的。

计盒维数和豪斯多夫维数存在如下不等式：

:<math>\dim_\operatorname{Haus} \leq  \dim_\operatorname{lower box} \leq \dim_\operatorname{upper box}</math>

一般的这两个不等式可能是严格不等的。当分型在不同尺寸有着不同行为时，顶盒维数可能大于底盒维数。例如，验证一下区间 [0,1] 中满足以下条件的数集

:对于任何 ''n''， 所有在第 2<sup>2''n''</sup> 位和第 2<sup>2''n''+1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 位之间（含两端）的数字均为 0 

在“奇位置区间”的数位没有限制，例如，在第 2<sup>2''n''+1</sup> 位和 2<sup>2''n''+2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 位间的数字没有限制，可以取任何值。该分型的顶盒维度为 2/3 而底盒维度为 1/3。这点很容易通过计算''N''(''ε'') （<math>\varepsilon=10^{-2^n}</math>）并注意到这些值在 ''n'' 分别取奇数和偶数时表现不同来证实。

更多例子：有理数集 <math>\mathbb{Q}</math> ，是一可数集故而其 <math>\dim_{\operatorname{Haus}} = 0</math> ，但是其 <math>\dim_{\operatorname{box}} = 1</math> 因为其闭包 <math>\mathbb{R}</math> 的维度是 1 。实际上，

:<math> \dim_{\operatorname{box}}  \left\{0,1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\right\} = \frac{1}{2}. </math>

这些例子显示了增添可数集能改变计盒维度，揭示了这种维度的一种不稳定性。

== 参見 ==
* {{tsl|en|Uncertainty exponent|不确定性系数}}
* {{tsl|en|Correlation dimension|关联维数}}
* [[豪斯多夫维数]]
* {{tsl|en|Lacunarity|空隙度}}
* {{tsl|en|Correlation dimension|填充维数}}
* [[听出鼓的形状#外尔－贝里猜想|外尔-贝里猜想]]

== 参考 ==
* {{mathworld| urlname=Minkowski-BouligandDimension|title=Minkowski-Bouligand Dimension}}

{{分形}}

[[Category:测度论|B]]
[[Category:度量几何|B]]
[[Category:分形]]
[[Category:维度]]