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{{DISPLAYTITLE|證明{{frac|22|7}}大於{{pi}}}}
{{Pi box}}
人們經常使用<math>\frac{22}{7}</math>這個[[有理數]]作為[[圓周率]]<math>\pi</math>的[[丢番圖逼近]]。在<math>\pi</math>的[[連分數]]表達中，<math>\frac{22}{7}</math>是它的一個[[漸近分析|渐近]]分數。從這兩個數字的小數形式可見<math>\frac{22}{7}</math>是大於<math>\pi</math>的：

:<math>\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,</math>

:<math>\pi \approx 3.141592\dots\,</math>

這個近似值從古代就有人使用。縱使[[阿基米德]]並非這個近似值的始創者，但他證明了<math>{22 \over 7}</math>高估了圓周率。他以<math>{22 \over 7}</math>大於外切[[正多邊形|正96邊形]]的周界：該圓[[直徑]]之比作證明。

這個近似值常被稱為「'''[[約率]]'''」<ref>{{cite news|author=韩雪涛|title=数学科普：常识性谬误流传令人忧|publisher=中华读书报|date=2001年8月29日|url=http://www.xys.org/~xys/xys/ebooks/others/science/dajia/shuxuekepu.txt|accessdate=2006年10月6日|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070929083624/http://www.xys.org/~xys/xys/ebooks/others/science/dajia/shuxuekepu.txt|archivedate=2007年9月29日}}<br/>雖然它又被為「疏率」，但有數學家指出這名稱不適合。</ref>，除這以外，常用的近似值還有同是由[[祖沖之]]在5世紀提出的'''[[密率]]'''：<math>{355 \over 113}</math>。

以下是另一個<math>\frac{22}{7}>\pi</math>的證明，所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值，而非以證明<math>\frac{22}{7}>\pi</math>為最終目標。它比起一些基本證明更容易理解<ref>比較[[愛德華·梅特蘭·賴特]]和[[高德菲·哈羅德·哈代]]，第22章中的質數定理的基本證明<br />（1938）《數論介紹》第5版，美國牛津大學出版社（1980年4月17日）ISBN 978-0-19-853171-5</ref>。它的優雅是由於它和[[丟番圖逼近]]的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」<ref>Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", ''Australian Mathematical Society Gazette''，'''32'''冊，4號，263–266頁<br/>這著作開首便道這是「其中一個估計π值的最美麗結果」。</ref>。Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾，說它在該範疇是「不得不提及」的<ref>{{cite book|first=Julian|last=Havil|year=2003|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|url=https://archive.org/details/gammaexploringeu0000havi|publisher=Princeton University Press|id=ISBN 978-0-691-09983-5|pages=96頁}}</ref>。

==概念==
:<math>0 < \int_0^1 \frac{x^4 (1 - x) ^4}{1 + x^2} \,dx= \frac{22}{7} - \pi</math>

故此<math>\frac{22}{7}>\pi</math>。

==詳情==
被積函數是一個分數，其分子和分母皆是非負函數，所以該[[積分]]是正數。由於被積函數是正數，由0至1的定積分也大於0。

以下就證明該積分實際上與<math>{22 \over 7}</math>的關係：

:{|
|-
|<math>0\,</math>
|<math><\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx</math>
|-
|
|<math>=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx</math>
|展開分子的數項
|-
|
|<math>=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx</math>
|多項式長除法
|-
|
|<math>=\left[ \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + x^5 - \frac{4x^3}{3} + 4x - 4\arctan{x}\,\right]_0^1</math>
|[[定積分]]（[[微积分基本定理]]）
|-
|
|<math>=\frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 - \pi\ </math>
|把結果代入1和0，然後相減。注意：<math>\arctan 1=\frac{\pi}{4}</math>
|-
|
|<math>=\frac{22}{7} - \pi.</math>
|加數
|}

===布肯南數學比賽中的出現===
求取這積分的值是1968年[[威廉·罗威尔·普特南数学竞赛]]的第一個題目<ref>{{cite book |editor=edited by Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson |chapter=The Twenty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition: December 7, 1968 |title=The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions: 1965-1984 |location=Washington, DC |publisher=The Mathematical Association of America |year=1985 |id=ISBN 978-0-88385-441-9 |pages=p. 9}}</ref>：
:A-1. 证明
::<math>\frac{22}{7} -\pi=\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx</math>

==上限和下限==
達賽爾（1944）指出，只要把1代入分母中的<math>x</math>，可輕易取得積分的下限；把0代入分母中的''<math>x</math>''，可取得積分的上限<ref>Dalzell, D. P. (1944). "On 22/7", ''Journal of the London Mathematical Society'' 19, 133–134頁</ref>：

:<math>{1 \over 1260} < \int_0^1 {x^4 (1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx < {1 \over 630}.</math>

結果得出
:<math>{22 \over 7} - {1 \over 630} < \pi < {22 \over 7} - {1 \over 1260}.</math>

也許這是計算<math>\pi</math>值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾（1971）<ref>Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", ''Eureka; the Archimedeans' Journal'', '''34'''冊, pages 10–13頁.</ref>.

==參考資料==
<div class="references-small">
<references/>
</div>

==相關條目==
*[[圓周率]]
*[[證明0.999...等於1]]
*[[证明所有素数的倒数之和发散]]
*[[费马平方和定理的证明]]
*[[數學符號表]]

==外部連結==
* [http://www.cecm.sfu.ca/%7Ejborwein/pi-slides.pdf Pi的故事]{{Wayback|url=http://www.cecm.sfu.ca/%7Ejborwein/pi-slides.pdf |date=20070317032814 }}，Jonathan Borwein著；第5頁出現這積分

[[Category:數學推理]]
[[Category:圆周率]]