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在數學上，'''謝爾賓斯基空間'''（Sierpiński space，又稱'''兩點連通空間'''（connected two-point set））是一個包含兩個元素的有限[[拓樸空間]]，其中只有一個元素是[[閉集|閉合]]的。<ref>{{nlab|id=Sierpinski+space |title=Sierpinski space}}</ref>這個空間是所有非[[密着拓扑|密着]]且非[[离散空间|离散]]的拓樸空間中最小的，而這空間以[[波蘭]]數學家[[瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基]]的姓氏為名。

因為謝爾賓斯基空間在[[斯科特连续性|斯科特拓樸]]當中，是[[開集]]的[[分類空間]]（classifying space）之故，因此這集合在[[可计算性理论]]和[[語意學|語意處理]]上有重要的應用。<ref>一篇網路文章解釋了為何拓樸學可用在電腦科學中對「概念」的研究之上，詳情可見Alex Simpson的《[http://www.dcs.ed.ac.uk/home/als/Teaching/MSfS/ Mathematical Structures for Semantics] {{Wayback|url=http://www.dcs.ed.ac.uk/home/als/Teaching/MSfS/ |date=20090107003426 }}》一文的第三章《[http://www.dcs.ed.ac.uk/home/als/Teaching/MSfS/l3.ps Topological Spaces from a Computational Perspective] {{Wayback|url=http://www.dcs.ed.ac.uk/home/als/Teaching/MSfS/l3.ps |date=20050427104159 }}》，其中的「參照」一節提供了許多網路上關於[[域理论]]的文章。</ref><ref>{{cite book | title = Synthetic topology of data types and classical spaces | last1 = Escardó | first1 = Martín | publisher = [[Elsevier]] | year = 2004 | series = Electronic Notes in Theoretical Computer Science | volume = 87}}</ref>

==定義及基本性質==
謝爾賓斯基空間<math>S</math>是一個其點集合為<math>\{0,1\}</math>的拓樸空間，其所有的[[開集]]如下：
:<math>\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}.</math>
其所有的[[閉集]]如下：
:<math>\{\varnothing,\{0\},\{0,1\}\}.</math>
也就是說，其單點集<math>\{0\}</math>是閉集，而其單點集<math>\{1\}</math>是開集，另外此處的<math>\varnothing</math>代表空集合。

此空間的[[閉包]]如下：
:<math>\overline{\{0\}} = \{0\},\qquad\overline{\{1\}} = \{0,1\}.</math>

一個有限的拓樸空間亦可由其[[特殊化预序]]唯一定義，當中，這[[预序]]是一個[[偏序]]，其形式如下：
:<math>0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.</math>

==拓樸性質==
謝爾賓斯基空間<math>S</math>是[[特定點拓樸]]（particular point topology）（謝爾賓斯基空間的特定點為1）和[[排除點拓樸]]（excluded point topology）（謝爾賓斯基空間的排除點為0）的一個特殊例子，因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。

===分離性===
*在謝爾賓斯基空間中，0和1這兩點是[[拓撲可區分]]的，這是因為<math>\{1\}</math>是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個[[柯爾莫果洛夫空間]]（<math>T_0</math>空間）。
*然而謝爾賓斯基空間不是一個[[T1空间|<math>T_1</math>空間]]，這是因為<math>\{1\}</math>這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是[[豪斯多夫空間]]或<math>T_n</math>空間（其中<math>n \ge 1</math>）。
*然而謝爾賓斯基空間不是[[正則空間]]或[[完全正则空间]]，這是因為1這個點及其不相交集合<math>\{0\}</math>不能以[[鄰域]][[分离集合|分離]]之故（另外點能以[[鄰域]][[分离集合|分離]]的<math>T_0</math>空間是[[豪斯多夫空間]]）。
*然而謝爾賓斯基空間可視為[[正规空间]]和完全[[正规空间]]，這是因為這空間中沒有非空的[[分离集合]]所致。
*然而謝爾賓斯基空間不是完美[[正规空间]]，這是因為其彼此不相交的閉合<math>\varnothing</math>和<math>\{0\}</math>無法由函数完全分离所致。事實上，謝爾賓斯基空間的<math>\{0\}</math>不能是任何[[連續函數]]<math>S \to R</math>的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是[[常函數]]所致。

===連通性===
*謝爾賓斯基空間同時是個[[超連通空間]]（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和[[特連通空間]]（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。
*謝爾賓斯基空間是個[[連通空間]]和道路连通空间。 
*一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的[[道路 (拓扑学)|道路]]<math>f: I \to S</math>可定義如次：<math>f(0)=0</math>且對於所有的<math>t > 0</math>而言<math>f(t)=1</math>，這個函數是連續的，因為<math>f^{-1}(1)=(0,1]</math>在<math>I</math>是開集。
*和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
*謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其[[基本群]]是個[[當然群]]（這點對高階[[同倫群]]（higher homotopy groups）也成立）。

===緊緻性===
*和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個[[緊緻空間]]和[[第二可數空間]]。
*謝爾賓斯基空間的緊子集<math>\{1\}</math>不是閉集，而這顯示了<math>T_0</math>空間的緊集不必然是閉集。
*任何謝爾賓斯基空間的[[開覆蓋]]都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是<math>\{S\}</math>。
*而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，[[仿紧空间]]的一個子類）。<ref>Steen和Seebach二氏錯誤地認為謝爾賓斯基空間不是滿正規空間（或以其術語來說，不是滿<math>T_4</math>空間）。</ref>

===收斂性===
*任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
*在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1，當且僅當該序列僅有有限多項為0。
*在謝爾賓斯基空間當中，1是某序列的一個[[聚集点]]，當且僅當該序列包含無限多項的1。
*例子如下：
**1不是<math>(0,0,0,0,...)</math>這序列的聚集点。
**1是<math>(0,1,0,1,0,1,...)</math>這序列的聚集点1，但並非極限點。
**<math>(1,1,1,1,...)</math>這序列同時收斂至0和1。

===度量化可能性===
*謝爾賓斯基空間不是[[乌雷松度量化定理|可度量化]]的空間，甚至也不是可[[偽度量]]化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是[[完全正则空间]]，而謝爾賓斯基空間就連[[正则空间]]都不是之故。
*謝爾賓斯基空間可由[[距离函数|偽擬度量]]生成，其中<math>d(0,1)=0</math>且<math>d(1,0)=1</math>。

===其他性質===
*謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
*而這表示說謝爾賓斯基空間的[[同胚群]]（英语：homeomorphism group）是[[當然群]]。

==映至謝爾賓斯基空間的連續函數==
設<math>X</math>是一個任意集合，那麼一般會將所有從<math>X</math>映至<math>\{0,1\}</math>的函數的集合給記做<math>2^X</math>，這些函數即是<math>X</math>的[[指示函数]]，所有的指示函数都有如下的形式：
:<math>\chi_U(x) = \begin{cases}1 & x \in U \\ 0 & x \not\in U\end{cases}</math>
在其中<math>U</math>是<math>X</math>的一個[[子集]]。換句話說<math>2^X</math>這個函數的集合和<math>X</math>的[[幂集]]<math>P(X)</math>間，有著雙射的關係。每個<math>X</math>的子集<math>U</math>都有自己的指示函数<math>\chi_U</math>，而每個從<math>X</math>映至<math>\{0,1\}</math>的函數都有如此的形式。

現在假定<math>X</math>是個拓樸空間，而<math>\{0,1\}</math>有著謝爾賓斯基拓樸，那麼<math>\chi_U: X \to S</math>是個連續函數，當且僅當<math>\chi_U^{-1}(U): X \to S</math>在<math>X</math>中是個開集；然而根據定義，我們有
:<math>\chi_U^{-1}(1) = U.</math>
因此<math>\chi_U</math>是個連續函數，當且僅當<math>U</math>在<math>X</math>中是個開集。

假定<math>C(X,S)</math>是所有從<math>X</math>映至<math>S</math>的連續函數的集合，並假定<math>T(X)</math>是<math>X</math>的拓樸（也就是所有開集的集族），那麼就存在一個從<math>T(X)</math>映至<math>C(X,S)</math>的雙射，這映射會將<math>U</math>映至<math>\chi_U</math>之上。
:<math>C(X,S)\cong \mathcal{T}(X)</math>
也就是說，假若將<math>2^X</math>和<math>P(X)</math>對等，那麼其連續映射的子集<math>C(X,S) \subset 2^X</math>會是<math>T(X) \subset P(X)</math>的拓樸。

一個特別值得注意的例子是在對[[偏序关系|偏序集合]]的[[斯科特连续性|斯科特拓樸]]中，謝爾賓斯基空間會在指示函数保持[[定向连接]]（directed join）的狀況下，成為其[[開集]]的[[分類空間]]。<ref>{{nlab|id=Scott+topology|title=Scott topology}}</ref>

===范畴论的描述===
上述的結構可以用[[范畴论]]的語言很好地表達。有個從[[拓撲空間範疇]]到[[集合范畴]]的反變[[函子]]<math>T: Top \to Set</math>將每個拓樸空間<math>X</math>給指派給其開集的集合<math>T(X)</math>，並將每個連續函數<math>f: X \to Y</math>給指派給其[[像 (數學)|原像]]：
:<math>f^{-1} : \mathcal{T}(Y) \to \mathcal{T}(X).</math>
而相關敘述如下：<math>T</math>這個函子由<math>(S, \{1\})</math>[[可表函子|表示]]，其中<math>S</math>為謝爾賓斯基空間，也就是說，<math>T</math>和同態函子（Hom functor）<math>Hom(-,S)</math>間有著[[自然變換|自然同構]]，而這自然同構由[[可表函子|泛元素]]<math>\{1\} \in T(S)</math>決定，而這可由[[层 (数学)|预层]]的概念一般化。<ref>Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, ''Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory'', (1992) Springer-Verlag Universitext {{isbn|978-0387977102}}</ref>

===初拓扑===
任何的拓樸空間<math>X</math>都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族<math>C(X,S)</math>所引致的[[初拓扑]]。事實上，若要將<math>X</math>的拓樸變得[[拓撲比較|更加粗糙]]，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集<math>U</math>給移除，那麼<math>\chi_U</math>這個函數就會變得不連續，因此在<math>C(X,S)</math>當中的每個函數都連續的情況下，<math>X</math>有著最粗糙的拓樸。

函數的集族<math>C(X,S)</math>區分<math>X</math>上的點，當且僅當<math>X</math>是個<math>T_0</math>空間。<math>x</math>和<math>y</math>這兩點可由指示函数<math>\chi_U</math>區分，當且僅當開集<math>U</math>包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是<math>x</math>和<math>y</math>拓樸可區分的確實含意。

也就是說，若<math>X</math>是個<math>T_0</math>空間，那就可以將<math>X</math>給嵌入謝爾賓斯基空間的[[积空间]]中，在其中對於每個<math>X</math>的開集<math>U</math>而言，都有一個<math>S</math>的複本與之對應。其嵌入函數
:<math>e : X \to \prod_{U\in \mathcal{T}(X)}S = S^{\mathcal{T}(X)}</math>
可由下列函數得出：
:<math>e(x)_U = \chi_U(x).\,</math>
由於<math>T_0</math>空間的子空間和积空间還是<math>T_0</math>空間之故，因此一個拓樸空間是<math>T_0</math>空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的[[积空间]]的某個子空間[[同胚]]。

==在代數幾何中==
在代數幾何中，謝爾賓斯基空間會作為<math>\mathbb{Z}_p</math>（[[整數]]在質數<math>p</math>生成的[[素理想]]上的[[環的局部化|局部化]]）之類的[[離散賦值環]]（Discrete valuation ring）<math>R</math>的[[環的譜|譜]]<math>Spec(R)</math>出現。其中<math>Spec(R)</math>起自[[零理想]]的[[一般點]]（generic point）會對應至開集點1；而<math>Spec(R)</math>起自[[極大理想]]的[[特殊點]]（special point）會對應至閉集點0。

==參見==
* [[有限拓樸空間]]（Finite topological space）
* [[拓樸列表]]（List of topologies）
* [[偽圓]]（Pseudocircle）

==註解==
<references/>

==參考==
*{{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=Counterexamples in Topology | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 |mr=507446 | year=1995| title-link=Counterexamples in Topology }}
* Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", [[Mathematics Magazine]] 50(3): 158–60 {{doi|10.2307/2689505}}

{{DEFAULTSORT:Sierpinski space}}
[[Category:点集拓扑学]]
[[Category:拓扑空间]]