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[[File:Sierpinski pyramid.png|thumb|三維版本的謝爾賓斯基三角形]]
[[File:SierpinskiTriangle.svg|thumb|'''謝爾賓斯基三角形'''，它的[[豪斯多夫維]]是log(3)/log(2) ≈ 1.585。]]

'''謝爾賓斯基三角形'''（{{lang-en|Sierpinski triangle}}）是一個[[分形|-{zh-hans:分形; zh-hant:碎形;}-]]，在二十世紀初以[[波蘭]]數學家[[瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基]]命名，但這類圖案曾廣泛地出現十三世紀{{tsl|en|Cosmatesque|科斯馬蒂}}式的石雕裝飾上。<ref>{{cite journal | last = Williams | first = Kim | author-link = Kim Williams (architect) | editor-last = Stewart | editor-first = Ian | editor-link = Ian Stewart (mathematician) | date = December 1997 | department = The Mathematical Tourist | doi = 10.1007/bf03024339 | issue = 1 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]] | pages = 41–45 | title = The pavements of the Cosmati | volume = 19| s2cid = 189885713 }}</ref>它是[[自相似]]集的例子。

== 構造 ==
=== 去掉中心 ===
[[File:Sierpinski triangle evolution.svg|512px]]

# 取一個實心的三角形。（多數使用等邊三角形）
# 沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。
# 去掉中間的那一個小三角形。
# 對其餘每個三個小三角形重複1。

取其他形狀，如一個正方形，用類似的方法構造，也會得到類近謝爾賓斯基三角形的圖案：
[[File:Sierpinski triangle evolution square.svg|512px]]

=== 混沌遊戲 ===
[[File:Triângulo de Sierpinski.gif|thumb|動畫展示由混沌遊戲得到的謝爾賓斯基三角形]]

用隨機的方法（{{link-en|Chaos Game|Chaos_game}}），都可得到謝爾賓斯基三角形：

# 取平面上三點A,B,C，組成一三角形
# 任意取三角形 ABC內的一點
# 畫出 P和三角形其中一個[[頂點 (幾何)|頂點]]的中點，并将P移动到这个点
# 重複3

=== L系統 ===
下圖展示了曲線如何逼近謝爾賓斯基三角形。

[[File:Serpinski Lsystem.svg|center]]

這條曲線以[[L系統]]來記述為：
: 變數: A , B
: 常數: + , -
: 公理: A
: 規則: 
: A → B-A-B
: B → A+B+A

* A,B ： 向前
* - ： 左轉60°
* + ： 右轉60°

== 性質 ==
對整數維度 <math>d</math> ，將一個物體每邊都放大一倍時，物體的體積會增大 <math>2^d</math> 倍。對謝爾賓斯基三角形，將它放大一倍會得到三個與原圖案一樣大小的三角形，因此它的[[豪斯多夫維]]是<math>\frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585</math>。

謝爾賓斯基三角形的面積為零（見[[勒貝格測度]]）。每一次迭代後圖案的面積都是原來的 <math>\frac{3}{4}</math>，無窮迭代令該面積收斂於零。<ref>{{citation|title=Getting Acquainted with Fractals|first=Gilbert|last=Helmberg|publisher=Walter de Gruyter|year=2007|isbn=9783110190922|page=41|url=https://books.google.com/books?id=PbrlYO83Oq8C&pg=PA41}}.</ref>

== 外部連結 ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SierpinskiTremas.shtml 以去掉中心三角形的構作法(cut-the-knot)]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SierpinskiTremas.shtml |date=20071129180900 }}
* 以Chaos Game的原理繪謝爾賓斯基三角形：
** [http://www.shodor.org/MASTER/fractal/software/Sierpinski.html 一次多點]{{Wayback|url=http://www.shodor.org/MASTER/fractal/software/Sierpinski.html |date=20071004095021 }}
** [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SierpinskiChaosGame.shtml 逐步畫出]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SierpinskiChaosGame.shtml |date=20071107061649 }}
* [http://math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game.html 遊戲]{{Wayback|url=http://math.bu.edu/DYSYS/applets/chaos-game.html |date=20071230122644 }}
* [https://web.archive.org/web/20151119114246/http://www.cut-the-knot.org/triangle/Hanoi.shtml Sierpinski Gasket and Tower of Hanoi]：與[[河內塔]]的關係

{{commons|Sierpinski triangle}}
{{分形}}

{{Authority control}}
[[Category:分形]]
[[Category:波兰科技]]