查看“︁諧波小波轉換”︁的源代码

{{orphan|time=2013-01-18T01:37:53+00:00}}
'''諧波小波轉換'''（{{lang|en|Harmonic Wavelet Transform}}）為學者[[大衛‧紐蘭德]]（David E. Newland）於1993年所提出，是一個以小波為基底的線性轉換，得以將訊號變換至時頻域（Time-Frequency Domain）上。諧波小波轉換結合了[[短時距傅立葉變換]]和[[連續小波轉換]]兩者之優點的訊號分析工具，而其離散版本則可以用[[快速傅立葉變換]]做有效率的運算。

==定義與性質==
===基礎推理===
考量一個偶對稱的實數函數<math>w_e(x)</math>，其傅立葉變換定義為：<br />
:<math> W_e(\omega) = 
\begin{cases}
\frac{1}{4\pi} & \mbox{for } -4\pi \le \omega < -2\pi \\
\frac{1}{4\pi} & \mbox{for } \quad 2\pi \le \omega < 4\pi \\
0 & \mbox{elsewhere}
\end{cases}
</math><br />
則透過反傅立葉變換，我們可以得到該函數<math>w_e(x)</math>為：<br />
:<math> w_e(x) = \int_{-\infty}^{\infty} W_e(\omega)e^{i\omega x} dw = \frac{sin4\pi x - sin2\pi x}{2\pi x}</math><br /><br />
而考量另一奇對稱的函數<math>w_o(x)</math>，若定義其傅立葉變換為：<br />
:<math> W_e(\omega) = 
\begin{cases}
\frac{i}{4\pi} & \mbox{for } -4\pi \le \omega < -2\pi \\
\frac{-i}{4\pi} & \mbox{for }  2\pi \le \omega < 4\pi \\
0 & \mbox{elsewhere}
\end{cases}
</math><br />
則其反傅立葉變換會得到<math>w_o(x)</math>為：<br />
:<math> w_o(x) = \int_{-\infty}^{\infty} W_o(\omega)e^{i\omega x} dw = \frac{-(cos4\pi x - cos2\pi x)}{2\pi x}</math><br /><br />
假如結合<math>w_e(x)</math>和<math>w_o(x)</math>，透過<math>w(x) = w_e(x) + iw_o(x)</math>的關係，我們會得到一[[复数 (数学)|複數]]函數，並定義它為諧波小波（Harmonic Wavelet）。本諧波小波將為以下數學形式：<br />
:<math>w(x) = \frac{e^{i4\pi x}-e^{i2\pi x}}{i2\pi x}</math><br />
也由於傅立葉轉換的特性和<math>W_e(\omega)</math>和<math>W_o(\omega)</math>的定義，諧波小波的傅立葉轉換對為：<br />
:<math>W(\omega) = W_e(\omega) + iW_o(\omega) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi} & \mbox{for } 2\pi \le \omega < 4\pi \\ 0 & \mbox{elsewhere} \end{cases}</math><br /><br />
===一系列的諧波小波===
接著，考量到[[小波轉換]]中的精神－－母小波的縮放（Dilation）和平移，透過伸張方程式（Dilation Equation）我們可以寫出一系列的諧波小波（其中<math>j</math>和<math>k</math>皆為整數）：<br />
:<math> w(x) \Rightarrow w(2^{j}x-k) = \frac{e^{i4\pi (2^{j}x - k)} - e^{i2\pi (2^{j}x - k)}}{i2\pi (2^{j}-k)} = v(x)</math><br /><br />

根據前文對<math>W(\omega)</math>的定義，或是透過直接計算傅立葉轉換對，我們也可以得到縮放和平移後的一系列諧波小波在[[頻域]]上的表示法：<br />
:<math> V(\omega) = \frac{1}{2^j}e^{\frac{-i\omega k}{2^j}}W(\frac{\omega}{2^j})</math><br />
而若我們將不同的正整數<math>j</math>帶入上式，例如<math>j = 3</math>和<math>j = 4</math>，我們會發現後者的振幅會是前者的一半，然而其頻帶寬會是前者的兩倍。這樣的特性使得每一階（Level，對應到不同的<math>j</math>）的諧波小波，其頻域將隨著階數越高而越寬，由是達到多解析度的效果。

===低頻頻帶（Zero-frequency band）===
隨著<math>j</math>的階數比0越來越小，頻帶的振幅將越來越高、越來越窄，一路向頻率為0的位置延伸。而根據[[多解析度分析]]的理論，我們可以將這些階數小於0的頻帶全部收為一個頻帶，並定義為-1階（<math>j = -1</math>）。它涵蓋了DC到<math>2\pi</math>的頻帶範圍。以[[小波轉換]]的術語來說，這樣具低通濾波性質的函式，被稱之為縮放函數（Scaling Function），又稱為父小波（Father Wavelet）。諧波小波的縮放函數定義為：<br />
:<math> \phi(x) = \frac{e^{i2\pi x}-1}{i2\pi x} </math>，其頻域特性將是一個介於<math>[0,2\pi)</math>的方波，振幅為<math>\frac{1}{2\pi}</math><br />

===[[正交]]（Orthogonality）===
若要證明諧波小波有正交的特性，必須分兩個層次討論，<math>j</math>（不同階的諧波小波）和<math>k</math>（不同位移量）。首先討論不同階的諧波小波。根據傅立葉理論，若兩任意階數的諧波小波正交，它將有下列關係（參考David Newland，1993）：<br />
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} w(x)v(x) dx = \int_{-\infty}^{infty} W(\omega)V(-\omega) dx</math><br />
因為任意階數之諧波小波其頻譜皆分布在正頻率軸，故<math>W(\omega)V(-\omega)</math>永遠為0。我們還必須證明下式也成立：<br />
:<math>\int_{-\infty}^{infty} w(x)v^*(x) dx = \int_{-\infty}^{infty} W(\omega)V^*(\omega) dx</math><br />
而因為不同階數之諧波小波其頻帶不相交，故上式的右式也為0，由是證明不同階數諧波小波的正交特性。至於同階數、不同位移量的諧波小波，因為傅立葉變換的特性，在時域的位移相當於在頻域的訊號必須乘上一個線性相位，因此對位移之諧波小波來說，必須滿足下式：<br />
:<math>\int_{2\pi}^{4\pi} e^{i\omega k}d\omega = 0</math><br />
當k不為0的時候，上式將會成立。換言之，當具有位移存在時，諧波小波正交的特質成立。最後，我們也可以用相似的證明方式，證明諧波小波之父小波也具有正交特性。

==諧波小波轉換==
如同[[傅立葉級數]]一般，由於父小波和母小波皆具有正交的特性，我們可以用它們做為[[基 (線性代數)|基]]底來對一個函數做展開：<br />
:<math>f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty \left[ a_k \phi(t - k) + \tilde{a}_k \phi^*(t - k) \right] + \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=-\infty}^\infty \left[ a_{j,k} w(2^j t - k) + \tilde{a}_{j,k} w^*(2^j t - k)\right] .</math><br />
而它們的係數，根據投影，分別為：
:<math>
\begin{align}
a_{j,k} & {} = 2^j \int_{-\infty}^\infty f(t) \cdot w^*(2^j t - k) \, dt \\
\tilde{a}_{j,k} & {} = 2^j \int_{-\infty}^\infty f(t) \cdot w(2^j t - k) \, dt \\
a_k & {} = \int_{-\infty}^\infty f(t) \cdot \phi^*(t - k) \, dt \\
\tilde{a}_k & {} = \int_{-\infty}^\infty f(t) \cdot \phi(t - k) \, dt.
\end{align}
</math><br />
而對於實數函數<math>f(t)</math>,係數將會有這樣的關係： <math>\tilde{a}_{j,k} = a_{j,k}^*</math> 、<math>\tilde{a}_k = a_k^*</math>。

== 参见 ==
* [[闵可夫斯基空间]]
* [[柯西不等式]]
* [[三角不等式]]
* [[完备空间]]

==參考資料==
# {{cite journal en |last= Newland|first= David|title= "Harmonic Wavelet Analysis"|journal= Proceedings of the Royal Society of London, Series A (Mathematical and Physical Sciences)|volume= 443|issue= 1917 |pages= 203 - 225|accessdate= 2013-01-17|date=Oct  1993}}
# {{Cite book | author = Lokenath Debnath | title = Wavelet Transforms and Their Applications | url = https://archive.org/details/wavelettransform00ldeb |publisher = Birkhäuser |location = Boston| date = 2002 | pages = [https://archive.org/details/wavelettransform00ldeb/page/n490 475]-490 | ISBN = 0817642048 | accessdate = 2013-01-17}}

[[Category:信號處理]]