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{{Unreferenced |time=2010-02-13T17:12:01+00:00 }}
{{NoteTA|G1=物理學}}

{{dablink|本文描述的是[[古典力學]]中的諧振子。[[量子力學]]中的諧振子請見[[量子諧振子]]與[[量子阻尼諧振子]]。}}
[[File:Simple harmonic oscillator.gif|right|frame|一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。]]
[[古典力學]]中，一個'''諧振子'''（{{lang-en|'''harmonic oscillator'''}}）乃一個系統，當其從平衡位置[[位移]]，會感受到一個恢復[[力]]<math>F</math>正比於位移<math>x</math>，並遵守[[虎克定律]]：
:<math> F = -k x \, </math>
其中<math>k</math>是一個正值[[常數]]。

如果<math>F</math>是系統僅受的力，則系統稱作'''簡諧振子'''（簡單和諧振子）。而其進行[[簡諧運動]]——正中央為平衡點的[[正弦]]或[[餘弦]]的[[振動]]，且[[振幅]]與[[頻率 (物理學)|頻率]]都是常數（頻率跟振幅無關）。

若同時存在一摩擦力正比於[[速度]]，則會存在[[阻尼]]現象，稱這諧振子為'''阻尼振子'''。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。

若同時存在跟時間相關的外力，諧振子則稱作是'''受驅振子'''。

力學上的例子包括了[[單擺]]（限於小角度位移之近似）、連接到[[彈簧]]的質量體，以及[[聲學]]系統。其他的相類系統包括了電學諧振子（electrical harmonic oscillator，參見[[RLC電路]]）。

== 簡諧振子 ==
簡諧振子沒有驅動力，也沒有[[摩擦]]（[[阻尼]]），所以淨力單純為：

:<math> F = -k x \, </math>

利用[[牛頓第二定律]]

:<math> F = m a = -k x \, </math>

則[[加速度]]<math>a</math>等於是<math>x</math>的二次微分導數：

:<math> m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x </math>

若定義<math>{\omega_0}^2 = k/m</math>，則方程式可以寫為如下：

:<math> \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0</math>
可以觀察到：
:<math> \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}</math>
然後代回原式得到
:<math> \frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0</math>
:<math> \mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot  \mathrm{d}x = 0</math>
積分可得
:<math> \dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K</math>
其中''K''是[[積分常數]]，設''K'' = (''A'' ''ω''<sub>0</sub>)<sup>''2''</sup>
:<math> \dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2 </math>
:<math> \dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2} </math>
:<math> \frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t  </math>
經過積分，結果（包括積分常數φ）為
:<math> \begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\  \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}</math>

並有一般解
:<math> x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \, </math>

其中[[振幅]]<math>A \,</math>以及[[相位]]<math>\phi \,</math>可透過[[初始條件]]來決定。

另外也可以將一般解寫成
:<math> x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \, </math>

其中<math>\phi \,</math>的值與前面形式相比，偏移了<math>\pi/2 \,</math>；

又可以寫作
:<math> x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \, </math>

其中<math>A \,</math>與<math>B \,</math>為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的<math>A \,</math>與<math>\phi \,</math>。

振動[[頻率 (物理學)|頻率]]則為
:<math> f = \frac{\omega_0}{2\pi} </math>

[[動能]]為
:<math>T = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi)</math>.

以及[[勢能]]（位能）為
:<math>U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)</math>

所以系統[[總能]]為定值：
:<math>E = \frac{1}{2} k A^2</math>

== 受驅諧振子 ==
一受驅諧振子滿足如下非齊次（nonhomogeneous）二階[[線性微分方程]]
::<math>\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)</math>，

其中<math>A_{0}</math>是驅動振幅而<math>\omega</math>是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在[[交流電|交流]]LC（[[電感]]L-[[電容]]C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的[[空氣阻力]]）。

== 阻尼諧振子 ==
一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程
:<math>\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = 0</math>，

其中<math>b</math>是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式<math>F = -bv</math>。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧（weighted spring），若假設水所施的阻尼力與速度<math>v</math>呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為
:<math>\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - R_m^2}</math>
 
其中
:<math>R_m=\frac{b}{2m}</math>。

== 受驅阻尼振子 ==
受驅阻尼振子滿足方程式
:<math>m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + r \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx= F_0 \cos(\omega t)</math>。

其一般解為兩個解的和，一為[[暫態]]解（無驅動阻尼諧振子之[[齊次]]常微分方程的解），與初始條件相關；另一為[[穩態]]解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為
::::<math> x(t) = \frac{F_0}{Z_m \omega} \sin(\omega t - \phi)</math>

其中
:<math> Z_m = \sqrt{r^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}</math>

為[[力學阻抗|阻抗]]（impedance）或[[線性響應函數]]（linear response function）之絕對值
:<math> Z = r + i\left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right) </math>

而
:<math> \phi = \arctan\left(\frac{\omega m - \frac{k}{\omega}}{r}\right)</math>
為相對於驅動力（相位定為0）的振動[[相位]]。

可以觀察到，當在某特定驅動頻率<math> \omega </math>時，振子振動之振幅（相對於一給定之<math>F_0</math>）達到最大。這發生在頻率為
:<math> {\omega}_r = \sqrt{\frac{k}{m} - 2\left(\frac{r}{2 m}\right)^2} </math>
之時，而此現象稱之為'''（位移上的）[[共振]]'''。

總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。

例子：[[RLC電路]]；[[電阻]]類比於[[阻尼]]。

== 完整數學描述 ==
多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：
:<math>\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t) </math>

其中''t''是時間，''b''是阻尼常數，ω<sub>o</sub>是[[本徵值|本徵角頻率]]，而''A''<sub>o</sub>cos(ω''t'')代表驅動系統的某種事物，其振幅''A''<sub>o</sub>而角頻率ω。''x''是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。[[角頻率]]與頻率''f''有關，關係式為
:<math> f = \frac{\omega}{2 \pi}</math>。

===重要項===
* [[振幅]]：偏離[[平衡點]]的最大的位移量。
* [[週期]]：系統完成一個振盪循環所需的時間，為[[頻率 (物理學)|頻率]]的倒數。
* [[頻率 (物理學)|頻率]]：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以[[赫茲]] = 1/秒為量度）。
* [[角頻率]]：<math> \omega = 2 \pi f </math>
* [[相位]]：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为<math> \pi </math>）。
* [[初始條件]]：''t'' = 0时系统的状态。

[[Category:經典力學|X]]
[[Category:振动和波|X]]
[[Category:微分方程|X]]