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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Magnet0873.png|thumb|300px|透過鐵粉顯示出的[[磁力線]]。將條狀磁鐵放在白紙下面，鋪灑一堆鐵粉在白紙上面，這些鐵粉會依著磁場力的方向排列，形成一條條的曲線，在曲線的每一點顯示出磁力線的方向。]]
《'''論法拉第力線'''》（{{lang|en|'''On Faraday's Lines of Force'''}}）是[[詹姆斯·馬克士威]]于1855年發表的一篇論文。<ref >{{Harvnb|馬克士威|1890|pp=155ff}}</ref>這是他從閱讀了[[麥可·法拉第]]的著作《[[電的實驗研究]]》（{{lang|en|Experimental Researches in Electricity}}）之後，得到啟發而撰寫的一篇論文。馬克士威將法拉第想出的[[場線|力線]]延伸為裝滿了[[不可壓縮流體]]的「力管」。這力管的方向代表力場（[[電場]]或[[磁場]]）的方向，力管的截面面積與力管內的流體速度成反比，而這流體速度可以比擬為電場或磁場。既然電場或磁場能夠比擬為流體速度，當然可以要求電場或磁場遵守[[流體力學]]的部分理論。那麼，借用流體力學的一些數學框架，即可推導出一系列初成形的[[電磁學]]雛論。<ref name=Crease>{{Harvnb|Crease|2008|pp=132ff}}</ref>馬克士威這樣陳述：<ref >{{Harvnb|馬克士威|1890|pp=157-158}}</ref>
{{Quotation|按照我將採用的方法，我希望能夠表明，我並不是在從一個我尚未做出任何實驗成果的學術中，試著建立任何物理理論；我的設計的最終目的是在顯示出，靠著嚴謹地應用法拉第的思維和方法，許多他所發現的不同電磁現象之間的連結關係，可以被清楚地陳列於數學家面前。因此，我會儘量避免提出，任何不是從法拉第方法得到的直接實例，或任何不是從法拉第方法得到的數學推論。在探討主題內一些比較簡單的部分時，我會使用法拉第的數學方法和思維。若當主題的複雜部分需要時，我會使用數學分析，但仍舊局限於發展這位哲學家的原本思維。|馬克士威|馬克士威的科學論文集}}

==用熱傳導機制來比擬靜電學==
在那時期的電磁學可以形容為眾多實驗結果和數學分析的大雜燴，急需整合成一套內外一致，有條有理的學術理論。裝備著[[劍橋大學]]物理系對於物理學生精心栽培的[[類比|比擬]]能力，馬克士威試圖創建一個能夠描述各種電磁現象的模型。他首先提到了[[威廉·湯姆森]]想出的比擬案例。湯姆森發現，描述[[熱傳導]]於均勻物質的[[傅立葉熱傳導定律]]，與[[靜電學]]內描述電場和[[電勢]]之間的關係式，它們的方程式的形式相同。傅立葉熱傳導定律以方程式表達為
:<math>\Gamma= - k\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d}x}</math> ;

其中，<math>\Gamma</math>是[[熱通量]]（{{lang|en|heat flux}}），<math>k</math>是物質的[[熱導率]]，<math>T</math>是[[溫度]]。

電場和電勢之間的關係式表達為
:<math>E= - \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d}x}</math> ;

其中，<math>E</math>是電場，<math>\phi</math>是電勢。

很明顯地，設定熱導率<math>k=1</math>，則電勢可以比擬為溫度，而電場可以比擬為熱通量。法拉第的[[電力線]]變為了熱流線，[[等勢線]]（{{lang|en|equipotential}}）變為了[[等溫線]]。所以，解析熱傳導問題的方法，可以用來解析[[靜電學]]問題。

馬克士威又注意到一個問題：熱傳導依賴的是物質的緊鄰的兩個粒子之間互相接觸而產生的「鄰接作用」（{{lang|en|contiguous action}}）；思考兩個相距很遠的電荷，不經過任何媒介，互相直接施加於對方的作用力，假若電場力是這種作用力，則電場力是一種[[超距作用]]（{{lang|en|action at a distance}}）。兩種完全不同的物理現象，居然可以用同樣形式的數學方式來描述，這給予馬克士威很大的遐想空間。

==不可壓縮流體理論==
馬克士威覺得熱傳導機制只能夠有限地比擬出電磁場的物理現象。他認為流體流動機制具有更大的威力，更多的功能來比擬靜電學和靜磁學。他開始探索[[不可壓縮流體]]的性質。按照定義，不可壓縮流體的任何部分的體積不會因為時間的演進而改變。這是一種假想的理想流體，是一種非常簡單的流體。馬克士威更進一步假設流體的流動是穩定的；在任何位置，流動的方向和速率不含時間。這樣，就不用考慮時間的因素。流體內部任意元素，隨著流動，會描繪出一條曲線，稱為「流動線」。法拉第想出的[[場線|力線]]可以比擬為流動線。

設想圍繞著流動線的一個圓環，其每一個流體元素，隨著流動，會共同描繪出一條假想的「力管」。在力管外面的流體不會流入力管內；在力管裏面的流體也不會流出力管外。假設力管在某位置的截面面積為<math>\sigma </math>，流速大小為<math>v</math>，則每單位時間流過此截面的流體體積為<math>v\sigma </math>。定義「單位力管」為每單位時間流過截面的流體體積為<math>1</math>的力管。對於單位力管
:<math>v\sigma =1</math>；

流速大小<math>v</math>越快，力管的截面面積越小；反之，則截面面積越大。

為了滿足流體體積的守恆，每一個力管，必須有一個力管源和力管壑。流體從力管源流出來，經過力管，最終流入力管壑。

舉一個單獨力管源例子。在三維空間裏，假設位於參考系的[[原點]]有一個力管源，每單位時間流出的流體體積為<math>m</math>。流體最終流入位於無窮遠的力管壑。在與此力管源的徑向距離為<math>r</math>的位置的流速大小為
:<math>v=m/4\pi r^2</math>。

單位力管的截面面積為
:<math>\sigma =4\pi r^2/m</math>。

在三維空間中，總共會存在有<math>m</math>個單位力管。這些單位力管填滿了整個空間，不會露出任何空隙。

在三維空間裏，假設位於參考系的[[原點]]有一個力管壑，每單位時間流入的流體體積為<math>m</math>。流體最初是由位於無窮遠的力管源流出。在與此力管源的徑向距離為<math>r</math>的位置的流速大小為
:<math>v= - m/4\pi r^2</math>。

因為流體的流動方向是朝著力管壑，所以流速大小是負值。

這不可壓縮流體系統遵守[[疊加原理]]。給予三個流體流動系統，假設第三個系統在每一個位置的流速，是另外兩個系統在同樣位置的流速的向量和。則通過第三個系統的一個曲面的每單位時間的流體體積，等於通過另外兩個系統的同樣曲面的每單位時間的流體體積的和。

==無質量流體流過阻抗介質的均勻運動理論==
馬克士威的流體沒有[[質量]]，沒有[[慣性]]，與[[牛頓運動定律]]無關。他提出的模型是[[幾何]]模型，不是物理模型。稱力管內的兩個截面之間的流體為「流動截體」。為了要賦予這模型流動所需的動力，馬克士威假設力管內的流動截體會感受到[[壓強|壓差]]<math>\Delta p</math>，前面阻擋的[[壓強]]小於後面推撞的壓強，因此，流動截體會往前方流動。

當流體經過[[介質]]時，會感受到一股與流速成正比的阻力，以方程式表達為
:<math>f= - kv</math>；

其中，<math>f</math>是單位體積感受到的阻力，<math>k</math>是介質的「阻抗係數」。

由於這阻力的作用，使得流動截體的前面阻擋的壓強小於後面推撞的壓強。每往前面移動單位長度，壓強會減少<math>kv</math>。對於單位力管，一個截面面積為<math>\sigma </math>，厚度為<math>h</math>的流動截體，所感受到的阻力大小為<math>f\sigma h</math>，壓差為<math>\Delta p=kvh</math>。定義<math>\Delta p=1</math>的流動截體為「單位流胞」。截面面積越大，單位流胞的厚度也越大；其關係為
:<math>\sigma = kh</math>。

給予一個流體系統的等壓曲面，則可計算出在空間所有位置的流速，也可以佈置好所有的單位力管，包括其力管源和力管壑。反之，給予一個系統所有的力管源和力管壑，則可計算出在空間所有位置的流速，也可以計算出等壓曲面。

給予一個流體系統，已知其在每一個位置的壓強、力管源分佈和力管壑分佈，假設其介質的阻抗係數為<math>k</math>。這個系統等價於一個介質的阻抗係數為<math>1</math>、力管源和力管壑的流量分別為<math>k</math>倍的系統。兩個系統在每一個位置的壓強相等，流速也相等。

這流體系統仍舊遵守[[疊加原理]]。給予三個流體流動系統，假設第三個系統在每一個位置的壓強，是另外兩個系統在同樣位置的壓強和。則第三個系統在三維空間內每一個位置的流速，是另外兩個系統在同樣位置的流速的向量和。

回想前述單獨力管源例子。徑向距離<math>r</math>越遠，壓強<math>p</math>越小；壓強的變率為
:<math>\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}r} = - \frac{km}{4\pi r^2}</math>。

當<math>r</math>為無窮遠時，<math>p=0</math>，所以壓強為
:<math>p=\frac{km}{4\pi r}</math>。

==應用於靜電學和靜磁學==
馬克士威想出的不可壓縮流體模型能夠比擬很多電磁現象，例如，靜電作用、靜磁作用、感應磁場作用、電流等等。

===靜電作用===
回想前述單獨力管源例子。將源電荷<math>q</math>比擬為力管源，將電場比擬為流速。那麼，可以得到電場<math>E</math>與距離的關係式：
:<math>E=\frac{q}{4\pi r^2}</math>。

將電勢比擬為壓強。力管源與壓強<math>p</math>的關係式為
:<math>p=\frac{km}{4\pi r}</math>。

按照這關係式，設定<math>k=1</math>，可以得到電勢<math>V</math>與源電荷的關係式：
:<math>V=\frac{q}{4\pi r}</math>。

電勢與電場的關係式為
:<math>E= - \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d}r} </math>。

===電介質理論===
假設電介質消弱了電場和電勢，則對應的流速和壓強也會減小，通過減小阻抗係數<math>k</math>，就可以減小壓強，但不能減小流速，因為流速只與力管源、力管壑和距離有關。所以，不能直接地靠著減小阻抗係數<math>k</math>來比擬電介質的效應。必須換一種方法，如同前面所述，將這阻抗係數為<math>k</math>的介質替換為阻抗係數為<math>1</math>的介質，又將所有力管源和力管壑的流量分別增加為<math>k</math>倍。這樣，流速和壓強就可以分別比擬為電場和電勢。

在兩個阻抗係數不同的區域的界面，由於界面兩邊的阻抗係數不同，會形成不同流量的力管源和力管壑。所以，會有淨力管源或淨力管壑出現於界面。這對應於電介質的感應表面電荷。

===永久磁鐵理論===
如同靜電場，靜磁場也遵守[[反平方定律]]。所以，可以使用同樣的方法來比擬靜磁場。馬克士威將磁鐵視為由單獨的磁粒子組成的，每一個磁粒子都有自己的磁北極和磁南極，分別可以比擬為力管源和力管壑。那麼，[[磁力線]]即可比擬為流動線，流速比擬為磁場，壓強比擬為「[[磁勢|磁純量勢]]」。

[[永久磁鐵]]有一個磁南極和一個磁北極。按照常規，磁力線從磁北極出來，經過空間，回到磁南極。試想磁鐵是由許多「磁胞」組成的。每一個磁胞都有一個磁南極和一個磁北極。那麼，就可以用「流胞」來比擬磁胞。每一個流胞都有一個力管源和一個力管壑，分別對應於磁北極和磁南極。聚集在一起，相鄰的流胞之間的力管源會與力管壑相互抵消。所以，整體看來，磁鐵的磁北極對應於其「北表面」的一個巨觀的力管源，而磁南極則對應於其「南表面」的一個巨觀的力管壑。

===電緊張態===
法拉第最先提出「電緊張態」（{{lang|en|electro-tonic state}}）的概念。在研究電磁感應理論時，他發現當將物體放在磁鐵或電流的附近時，物體會進入一種狀態。假若不打擾這系統，則處於此狀態的物體不會自發地顯示出任何現象。但是，一當系統有所變化，像磁鐵被移動了，或電流被增大了，則這狀態也會改變，因而產生電流或趨向產生電流。法拉第稱此狀態為「電緊張態」。但是，他並沒有很明確的說明這概念。<ref name=Yang>{{cite journal | last =Yang | first =ChenNing | title =The conceptual origins of Maxwell’s equations and gauge theory | url =https://archive.org/details/sim_physics-today_2014-11_67_11/page/45 | journal =Physics Today | volume =67 | issue =11 | pages =45-51 | date =2014 | doi =10.1063/PT.3.2585}}</ref>

後來，[[開爾文男爵]]於1851年引入[[磁矢勢]]的概念，並且給定磁矢勢與磁場之間的關係：<ref name=Yang/>
:<math>\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}</math>。

馬克士威在他的流體模型裏，找不到任何電緊張態可以扮演的角色。馬克士威這樣陳述：<ref >{{Harvnb|馬克士威|1890|pp=187}}</ref>
{{Quotation|在這篇從數學觀點來研讀法拉第理論的概述論文，我最多能做的，就是簡明地闡示數學方法，即我認為電磁現象能夠最容易被了解和約化為運算的數學方法。我的目標是以實質形式呈現數學想法於思維。這實質形式不是抽象符號，而是一群曲線或曲面。因為，抽象符號不能夠傳達同樣的想法，也不能夠自然地融入需要解釋的現象。但是，電緊張態的概念，還尚未在我的思維中呈現出它的形式，即一種不需要涉及抽象符號，就可以明確地解釋出它的自然屬性的形式。……經過仔細地研究彈性固體定律和黏性流體運動，我希望能夠發現一種適用於一般推理的方法，來塑造電緊張態的機械概念。|馬克士威|馬克士威的科學論文集}}

在這裏，馬克士威遇到了一點小困難。這是因為他設計的流體是穩定流體，在任何位置，流體的流動方向和速率不含時間。整個系統都是穩定的，不會因時間而改變。可是，電緊張態只能在系統改變時才會改變和顯現其效應。所以，馬克士威的流體模型找不到任何變量來比擬電緊張態。還有，馬克士威的流體模型可以比擬各種電場和磁場的現象，但都是孤立的現象；馬克士威的流體模型無法比擬綜合的電磁感應現象。在論文《[[論物理力線]]》裏，馬克士威會賦予他的模型更強大的威力，更豐富的功能來比擬各種電磁現象，並且創先地預測出[[電位移]]的存在。<ref >{{Harvnb|Simpson|1997|pp=116}}</ref>

在這篇論文的後半部分，馬克士威開始仔細分析電緊張態的物理性質。他給出一條重要定律：作用於一個導體的微小元素的[[電場]]，可以由該微小元素的電緊張態對於時間的導數來衡量。<ref >{{Harvnb|Whittaker|1951|pp=272-273}}</ref>以現代標記表示，這方程式為
:<math>\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{A}}</math>。

這是馬克士威學術生涯中的第一個重要突破，他將法拉第的電緊張態辨識為[[開爾文男爵]]的磁矢勢，並且對於電緊張態給出嚴格定義。<ref name=Yang/>

===規範自由===
對於電緊張態的定義式取旋度，則可得到[[法拉第感應定律|法拉第感應方程式]]：
:<math>\nabla\times\mathbf{E}=-\dot{\mathbf{B}}</math>。

馬克士威在這篇論文特別提出，[[開爾文男爵]]於1851發現的關於磁矢勢的數學性質，<ref >{{Harvnb|馬克士威|1890|pp=198-199}}</ref>即任意添加一個函數的[[梯度]]給磁矢勢，都不會改變磁矢勢與磁場的關係式、法拉第感應方程式，這數學性質後來演化為現今[[庫侖規範|規範自由]]的概念。<ref name=Yang/>

==參閱==
*《[[電磁場的動力學理論]]》
*[[電磁波方程式]]
*[[馬克士威方程組]]
*[[弯曲时空中的麦克斯韦方程组]]
*[[馬克士威應力張量]]
*[[麦克斯韦方程组的历史]]
*[[乙太]]

==參考文獻==
{{reflist}}

==進階閱讀==
{{Wikisource|en:On Faraday's Lines of Force|論法拉第力線（英文）}}
*{{Citation  | last =馬克士威   | first = 詹姆斯  | author-link = 詹姆斯·馬克士威  | title = The scientific papers of James Clerk Maxwell| volume = 1|year=1890  | place = New York  | publisher = Doer Publications  | editor-last = Nivin   | editor-first = William   | chapter =8   | url = http://www.archive.org/details/scientificpapers01maxw
}}
*{{Citation  | last =Crease   | first =Robert  | title = The Great Equations: Breakthroughs in Science from Pythagoras to Heisenberg   | publisher =W. W. Norton & Company  | year =2008  | volume =illustrated   | isbn =9780393062045 }}
*{{Citation  | last = Simpson  | first = Thomas K.  | title = Maxwell on the electromagnetic field: a guided study  | place = USA  | publisher = Rutgers University Press  | year = 1997  | isbn =9780813523637 }}
*{{citation|last=Whittaker|first= E. T.|title=A history of the theories of aether and electricity. Vol 1| publisher=Nelson, London |year=1951|url =http://www.archive.org/details/historyoftheorie00whitrich}}

{{DEFAULTSORT:L}} 
[[Category:電磁學]]
[[Category:電動力學]]
[[Category:詹姆斯·克拉克·馬克士威]]
[[Category:1855年作品]]