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在'''數學'''中，'''解析空間'''是一類局部上由解析函數定義的[[賦環空間|局部賦環空間]]，可理解為解析版本的[[概形]]。

==定義==
固定一個完備域 <math>(F, |\cdot|)</math>（通常取 <math>\mathbb{R}</math> 或 <math>\mathbb{C}</math>）。

令 <math>U = \{(x_1, \cdots, x_n) : \forall i \; |x_i|  < 1 \} \subset F^n</math>，其中 <math>n \in \mathbb{N}</math>，令 <math>\mathcal{O}_U</math> 為 <math>U</math> 上的解析函數層。設 <math>f_1, \ldots, f_m</math> 為解析函數，我們考慮它們的共同零點形成之空間 <math>Z(f_1, \ldots, f_n)</math> （帶來自 <math>F^n</math> 的拓撲結構），並賦予結構層 <math>\mathcal{O}_U/(f_1, \ldots, f_m)</math>。如此遂得到一個局部賦環空間，這類空間稱作'''局部模型'''。

注意到我們容許結構層中有冪零元，一如概形的情形，若一個解析空間的結構層之[[冪零根]]為零，則稱之為'''既約'''的。

所謂'''解析空間'''是一個局部同構於上述空間的[[賦環空間|局部賦環空間]] <math>(\mathcal{X},\mathcal{O})</math>；或者說是局部模型沿著開集的黏合。在 <math>F = \mathbb{C}</math> 時，數學家們已有特別深入的研究，這類解析空間稱為'''複解析空間'''，可以視為[[複流形]]的推廣。

==解析凝聚層==
'''[[岡潔]]引理'''（Oka's lemma）是這方面的最初成果之一，其推論之一是：複解析空間的結構層是[[凝聚層]]，其中的任何理想層也都是凝聚層。

對複解析凝聚層已有一套細緻的理論，包括一些重要的有限性定理；詳閱 Grauert 與 Remmert 的著作（見參考文獻）。

==複概形與解析空間==
具良好性質（局部諾特、分離……）的複概形 <math>X</math> 可視作解析空間；形式地說，有'''解析化'''函子
: <math>X \mapsto X^\mathrm{an}</math>，映至相應的複解析空間。
: <math>\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^\mathrm{an}</math>，將 <math>X</math> 上的代數凝聚層映至 <math>X^\mathrm{an}</math> 上的解析凝聚層。

於是引生兩大問題：
# 比較複概形及其解析化的諸般性質：包括拓撲性質（連通性、緊性、分支、真態射）及上同調（或者更一般的高階正像導函子<math>R^i f_*(-)</math> ）等等……。
# 複解析空間的代數性問題：一個複解析空間稱作是'''代數'''的，若且唯若它同構於某個 <math>X^\mathrm{an}</math>，其中 <math>X</math> 是個複概形；顯然存在非代數的複解析空間（例如 <math>\mathbb{C}</math> 的單位圓盤）。能否給出代數性的一般判準？

關於第一個問題，可參閱塞爾的著名論文 ''Géométrie algébrique et géométrie analytique''（''[[代數幾何與解析幾何]]''），或 SGA 卷一附錄。第二個問題則牽涉甚廣。已知一維緊複流形皆是射影[[代數簇]]，這是[[黎曼]]的經典結果；至於一般的整、緊複解析空間，代數化的必要條件之一是存在「夠多」[[亞純函數]]，明確地說，即亞純函數域的[[超越次數]]須等於空間的維度；這類空間稱作 '''Moishezon 空間'''。對於緊複流形，另一個必要條件是須有 [[Kähler度量]]。

==文獻==
* H. Grauert,   R. Remmert,  ''Analytische Stellenalgebren'' (1971) , Springer-Verlag （也有英譯本：''Coherent Analytic Sheaves''）
*{{cite book
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | coauthors = Michèle Raynaud
 | title = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques '''3''')
 | origyear = 1971
 | year = 2003
 | publisher = Société Mathématique de France
 | language = fr
 | pages = xviii+327
 | id = ISBN 978-2-85629-141-2 
}}
* J. P. Serre (1956), [http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 "Géométrie algébrique et géométrie analytique."] {{Wayback|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 |date=20160303191652 }} ''Annales de l'Institut Fourier'' '''6''', 1-42.

[[Category:代數幾何|J]]
[[Category:複流形]]
[[Category:微分幾何|J]]