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{{多個問題|
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[[Image:Complex zeta.jpg|right|thumb|300px|[[複平面]]上的黎曼ζ函數''ζ''(''s'')，其顏色表示函數的值，越接近黑色的表示其數值越接近零，而其[[色相]]表示函數數值的[[辐角]]]]

'''解析数论'''（analytic number theory），為[[數論]]中的分支，它使用由[[数学分析]]中發展出的方法，作为工具，来解决[[数论]]中的问题{{sfn|Apostol|1976|p=7}}。它首次出現在數學家[[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷|狄利克雷]]在1837年導入[[狄利克雷L函數]]，來証明[[狄利克雷定理]]{{sfn|Apostol|1976|p=7}}{{sfn|Davenport|2000|p=1}}。解析数论的成果中，較廣為人知的是在[[質數]]（例如[[質數定理]]及[[黎曼ζ函數]]）及[[堆疊數論]]（例如[[哥德巴赫猜想]]及[[華林問題]]）。

==解析数论的分支==
解析数论主要分為兩種，區分方式主要是因為待求解問題種類的不同，而比較不是因為使用技巧上的基本差異。
*{{le|乘性數論|Multiplicative number theory}}處理的是質數的分佈，例如估計一個區間內的質數個數，包括質數定理及[[狄利克雷定理]]。 
*[[堆疊數論]]是有關整數的堆疊結構，像是[[哥德巴赫猜想]]認為所有大於2的偶數都可以表示為二個質數的和。另一個堆疊數論的主要成果是[[華林問題]]的和。

==歷史==
[[微积分]]和[[复变函数论]]发展以后，产生了解析数论。该学科的第一个主要成就是狄利克雷用解析方法证明了[[狄利克雷定理]]。依靠[[黎曼ζ函数]]对素数定理的证明是另一个里程碑。
解析数论是解决数论中艰深问题的重要工具，数论中有些问题必须由解析方法才能提出或解决。
中国的[[华罗庚]]開啟了[[中國解析數論學派]]，[[王元 (数学家)|王元]]、[[陈景润]]、[[潘承洞]]等人在“[[哥德巴赫猜想]]”上也有相當進展，陸續證明了「3＋4」、「2＋3」及「1＋2」<ref>哥德巴赫猜想中的「x＋y」表示是「所有充分大的偶數都能表示成兩個數之和，並且兩個數的質因數個數分別都不超過x個及y個」</ref>，其中的「1＋2」就是[[陈氏定理]]<ref name='陈景润1973a'>{{cite journal |author=陈景润 |title=大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和 |journal=中国科学A辑 |year=1973 |issue=2 |pages=111-128 }}</ref>。

== 問題及結果 ==
解析数论的定理及成果比較不是有關整數精確結構的結果，這方面用代數或是幾何上的工具比較合適。解析数论的許多定理多半會預估一些數論相關函數的範圍及預計。<!--as the following examples illustrate.-->

=== 乘性數論 ===
<!--{{main|Multiplicative number theory}}-->
[[歐幾里得]]證明了質數有無限多個，可是很難找到可以快速判定一個整數是否是質數的方法（特別是整數很大時）。另外一個也有關係，但比較簡單的問題是找到質數的漸近分布，也就是可以大略描述有多少質數小於特定整數。[[卡爾·高斯]]在計算大量的質數後提出其猜想，他認為小於或等於一個很大整數''N''的質數個數，接近以下的[[定積分]]

: <math>\, \int^N_2 \frac{1}{\log\,t} \, dt.</math>

[[波恩哈德·黎曼]]在1859年利用複變分析以及一個特殊的[[亚纯函数]]（後來稱為[[黎曼ζ函數]]）來推導小於等於特定實數''x''之質數個數的解析解。值得一提的是，黎曼公式的主要項就是上述的積分，因此讓高斯的猜想更加重要。黎曼找到了解析解中的誤差項和黎曼ζ函數的複數零點有密切的關係，因此質數分佈的形式也和黎曼ζ函數的複數零點有關。[[雅克·阿达马]]及[[夏尔-让·德拉瓦莱·普桑]]利用黎曼的概念，以及對ζ函數零點的資訊，致力證明高斯的猜想，而且他們證明了若
:<math>\pi(x) = (\text{number of primes }\leq x),</math>
則

:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.</math>

上述的結果目前稱為[[質數定理]]，是解析数论的核心結果。簡單的說，質數定理提到給定一個大數字''N''，小於等於''N''的質數個數大約有''N''/log(''N'')個。

=== 堆疊數論 ===
[[華林問題]]是[[堆疊數論]]中最重要的問題之一，問題是針對任意大於等於2的整數''k''，是否可以將任意正整數表示為有限個整數的''k''次方的和

:<math>n=x_1^k+\cdots+x_\ell^k. \,</math>

針對平方的例子''k''&nbsp;=&nbsp;2，已由拉格朗日在1770年由[[四平方和定理]]證明。針對任意整數的例子由[[大卫·希尔伯特]]在1909年證明，不過運用的是代數的技巧，沒有提出數字個數的上界。[[戈弗雷·哈罗德·哈代]]及[[約翰·恩瑟·李特爾伍德]]應用解析數論的工具處理此一問題，帶來突破性的進展，他們用的工具稱為[[哈代-李特爾伍德圓法|圓法]]（circle method），可以針對函數''G''(''k'')（整數用''k''次方和表示時，需要的最小整數）提出具體的上界，例如[[伊萬·維諾格拉多夫|維諾格拉多夫]]上界為

:<math>G(k)\leq k(3\log k+11). \,</math>

=== 丟番圖方程 ===
{{main|丟番圖方程}}

[[丟番圖方程]]和多項式方程的整解有關。有些研究可能是探討解的分析情形，也就是依照某種「高度函數」來計算這些解。

[[高斯圓問題]]是丟番圖方程中的一個重要例子，要求滿足下式的整數點 <math>(x,y)</math> 的個數
:<math>x^2+y^2\leq r^2.</math>

用幾何的方式來說，給定在平面上，以原點為圓心，半徑是 <math>r</math> 的圓，此問題要問的是在此圓內和圓上有多少個格子點。其解為<math>\, \pi r^2 + E(r) \, </math>，其中<math>\, E(r)/r^2 \, \to 0 \,</math>在<math>\, r \to \infty \,</math>時。不過最難（也是解析數論取得大幅進展）的部份是在確認此誤差項 <math>E(r) </math>的上界。高斯證明了誤差項的漸近行為<math> E(r) = O(r)</math>，O(r)為[[大O符号]]，表示誤差項不會超過 <math>r</math> 的線性項。而後來[[瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基]]在1906年證明了<math> E(r) = O(r^{2/3})</math>。哈代和[[愛德蒙·蘭道]]都證明了<math>E(r) = O(r^{1/2})</math>不成立（<math>E(r)</math> 數量級超過 <math>r</math> 開根號）。因此以後目標是證明針對每一個<math>\epsilon > 0</math>，都存在實數 <math>C(\epsilon)</math> 使得 <math>E(r) \leq C(\epsilon) r^{1/2 + \epsilon}</math>。

2000年{{le|馬丁·赫胥黎|Martin Huxley}}證明了<ref>M.N. Huxley, ''Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function'', Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, {{MR|1956254}}.</ref><math>E(r) = O(r^{131/208})</math>，是目前最好的結果。

==相關條目==
*[[邁爾矩陣法]]
*{{le|自守L函數|Automorphic L-function}}
*[[自守形式]]
*[[抽象解析数论]]
*[[篩法]]
*[[哈代-李特爾伍德圓法]]
*[[切比雪夫函數]]

==參考資料==
{{reflist|2}}

==參考書目==
{{refbegin|2}}
* {{Citation | last=Davenport | first=Harold | author-link=Harold Davenport | title=Multiplicative number theory | edition=3rd revised | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95097-6 | mr=1790423 | year=2000 | volume=74}}
* {{Citation | title=Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory | first=Gérald | last=Tenenbaum | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=46 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1995 | isbn=0-521-41261-7 }}
{{refend}}

==延伸閱讀==
{{refbegin|2}}
* Ayoub, ''Introduction to the Analytic Theory of Numbers''
* H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, ''Multiplicative Number Theory I'' : ''Classical Theory''
* H. Iwaniec and E. Kowalski, ''Analytic Number Theory''.
* D. J. Newman, ''Analytic number theory'', Springer, 1998

On specialized aspects the following books have become especially well-known:

* {{Citation | last1=Titchmarsh | first1=Edward Charles | author1-link=Edward Charles Titchmarsh | title=The Theory of the Riemann Zeta Function | publisher=[[Oxford University Press]] | edition=2nd | year=1986}}
* H. Halberstam and H. E. Richert, ''[[sieve theory|Sieve Methods]]''
* R. C. Vaughan, ''The [[Hardy–Littlewood method]]'', 2nd. edn.

Certain topics have not yet reached book form in any depth. Some examples are
(i) [[Montgomery's pair correlation conjecture]] and the work that initiated from it,
(ii) the new results of Goldston, Pintz and Yilidrim on [[Twin prime|small gaps between primes]], and
(iii) the [[Green–Tao theorem]] showing that arbitrarily long arithmetic progressions of primes exist.
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[[Category:解析数论]]