查看“︁解析延拓”︁的源代码

{{unreferenced|time=2015-01-18T05:49:58+00:00}}
'''解析延拓'''（{{lang-en|Analytic continuation}}）是[[數學]]上將[[解析函數]]從較小[[定義域]]拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先[[發散]]的[[級數]]在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為[[Γ函数]]與[[黎曼ζ函數]]。

== 初步闡述 == 
[[File:Imaginary log analytic continuation.png|316px|right|thumb|[[自然對數]]虛部之解析延拓]]

若''f''為一[[解析函數]]，定義於複平面'''C'''中之一[[開集|開子集]] ''U''，而''V''是'''C'''中一更大且包含''U''之開子集。''F''為定義於''V''之解析函數，並使

:<math>\displaystyle F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U, </math>

則''F''稱為''f''之解析延拓。換過來說，將''F''函數限制在''U''則得到原先的''f''函數。

解析延拓具有唯一性：

若''V''為兩解析函數''F''<sub>1</sub>及''F''<sub>2</sub>的[[連通]]定義域，並使''V''包含''U''；若在''U''中所有的''z''使得

:''F''<sub>1</sub>(''z'') = ''F''<sub>2</sub>(''z'') = ''f''(''z'')，

則在''V''中所有點

:''F''<sub>1</sub> = ''F''<sub>2</sub>。

此乃因 ''F''<sub>1</sub>&nbsp;−&nbsp;''F''<sub>2</sub>亦為一解析函數，其值於''f''的開放連通定義域''U''上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為[[全純函數]]之[[惟一性定理]]的直接結果。

<br />

== 应用 ==
在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的[[定义域]]中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立[[函数方程]]， 然后通过这个方程拓展定义域。例如[[黎曼ζ函数]]和[[Γ函数]]。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了[[黎曼面]]的诞生。


== 相關條目 ==
* [[解析函數]]

{{数学分析小条目}}

[[Category:複分析]]
[[Category:微積分]]
[[Category:光滑函數]]