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在[[複分析|复分析]]中，[[复平面]]的[[紧空间|紧子集]]K的'''解析容度'''（analytic capacity）是一个标志了<math>\mathbb{C}\setminus K</math>上的[[有界函数|有界]][[解析函数]]可以有“多大”的数。粗略地说，解析容度<math>\gamma(K)</math>测量了<math>\mathbb{C}\setminus K</math>上的有界解析函数所组成的空间的单位球的大小。

这个概念最早由[[拉斯·阿尔福斯|阿尔福斯]]在1940年代研究有界解析函数的[[奇点 (数学)|奇点]]的可去性时引入。

== 定义 ==
紧集<math>K \subset \mathbb{C}</math>的解析容度定义为

<math>\gamma(K)=\sup\{|f'(\infty)|:f\in\mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}\setminus K),\|f\|_\infty\le 1,f(\infty)=0\}</math>

其中，<math>\mathcal{H}^\infty(U)</math>表示有界解析函数<math>f:U\to\mathbb{C}</math>组成的集合。此外，

<math>f'(\infty):=\lim_{z\to\infty}{z(f(z)-f(\infty))}</math>

<math>f(\infty):=\lim_{z\to\infty}{f(z)}</math>

注意如果令<math>g(z)=f(1/z)</math>，则有<math>f'(\infty)=g'(0)</math>。但是，一般来说<math>f'(\infty)\neq\lim_{z\to\infty}{f'(z)}</math>。

对任意集合<math>A\subset\mathbb{C}</math>，定义

<math>\gamma(A)=\sup_{K\subset A}{\gamma(K)}</math>

其中K取遍所有包含于A的紧集。

== 可去集与潘勒韦问题 ==
设K是紧集，若对任意包含K的开集<math>\Omega</math>，集合<math>\Omega\setminus K</math>上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个<math>\Omega</math>上，则称K是可去集。根据[[可去奇点|黎曼可去奇点定理]]，[[单元素集合|单点集]]都是可去的。这启发[[保罗·潘勒韦]]于1880年提出了一个更一般的问题：“<math>\mathbb{C}</math>的哪些子集是可去的？”

容易看出，K是可去的当且仅当<math>\gamma(K)=0</math>。然而，解析容度是纯复分析的概念，要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。

== 阿尔福斯函数 ==
对紧集<math>K \subset \mathbb{C}</math>，存在唯一的极值函数，即<math>f\in\mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}\setminus K)</math>使得<math>\|f\|\le1,f(\infty)=0,f'(\infty)=\gamma(K)</math>。这个函数称为K的'''阿尔福斯函数'''。

== 解析容度与豪斯多夫维数 ==
用<math>\dim_H</math>表示[[豪斯多夫维数]]，<math>\mathcal{H}^1</math>表示1维[[豪斯多夫测度]]。则<math>\mathcal{H}^1(K)=0</math>蕴含<math>\gamma(K)=0</math>，而<math>\dim_H(K)>1</math>保证了<math>\gamma(K)>0</math>。然而，<math>\dim_H(K)=1</math>

与<math>\mathcal{H}^1(K) > 0</math>的情况要复杂得多。

=== 长度大于0而解析容度等于0的例子 ===
之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系，据此可以猜想<math>\gamma(K)=0</math>蕴含<math>\mathcal{H}^1(K)=0</math>。然而，这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例，J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下：

设<math>K_0:=[0,1]\times[0,1]</math>是单位正方形。然后<math>K_1</math>是4个边长1/4的正方形的并，这4个小正方形分别位于<math>K_0</math>的四个角。以此类推，<math>K_n</math>是<math>4^n</math>个边长为<math>4^{-n}</math>的正方形（记做<math>Q_n^j</math>）的并，每个<math>Q_n^j</math>位于某个<math>Q_{n-1}^k</math>的一角。令K是所有<math>K_n</math>的交，则<math>\mathcal{H}^1(K)=\sqrt 2</math>，但是<math>\gamma(K)=0</math>。

=== Vitushkin猜想 ===
设<math>K \subset \mathbb{C}</math>是紧集，Vitushkin猜想叙述为

<math>\gamma(K)\iff\int_0^\pi{\mathcal{H}^1(\operatorname{proj}_\theta{K})d\theta}=0</math>

其中<math>\operatorname{proj}_\theta(x,y):=x\cos\theta+y\sin\theta</math>表示在方向<math>\theta </math>上的正交投影。根据上面的结果，当<math>\dim_H(K) \neq 1</math>时，Vitushkin猜想为真。

Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在<math>\dim_H(K)=1</math>且<math>\mathcal{H}^1(K) < \infty</math>的情况。2002年，Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的（countably semiadditive）。即，存在常数<math>C>0</math>使得对紧集<math>K=\bigcup_{i=1}^\infty{K_i}</math>（其中<math>K_i</math>是博雷尔集），<math>\gamma(K) \le C\sum_{i=1}^\infty{\gamma(K_i)}</math>

David与Tolsa的定理合起来能推导出，当K关于<math>\mathcal{H}^1</math>是[[Σ-有限测度|σ有限]]的时，Vitushkin猜想为真。可是，对于不是<math>\mathcal{H}^1</math>[[Σ-有限测度|σ有限]]的1维的K，这个猜想仍然有待解决。

== 参考资料 ==

* Mattila, Pertti (1995). ''Geometry of sets and measures in Euclidean spaces''. Cambridge University Press. <nowiki>ISBN 0-521-65595-1</nowiki>.
* Pajot, Hervé (2002). ''Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral''. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
* J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, ''Proc. Amer. Math. Soc.'' '''21''' (1970), 696–699
* G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, ''Rev. Math. Iberoam.'' '''14''' (1998) 269–479
* Dudziak, James J. (2010). ''Vitushkin's Conjecture for Removable Sets''. Universitext. Springer-Verlag. <nowiki>ISBN 978-14419-6708-4</nowiki>.
* Tolsa, Xavier (2014). ''Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory''. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. <nowiki>ISBN 978-3-319-00595-9</nowiki>.

[[Category:解析函数]]