查看“︁解析函数”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:数学对象;zh-tw:數學物件;
}}
{{各種函數}}
在[[數學]]中，'''解析函数'''（{{lang-en|Analytic function}}）是局部上由收斂[[幂级数|冪級數]]給出的函數。解析函數可分成'''實解析函數'''與'''複解析函數'''，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。两种类型的解析函数都是[[光滑函数|无穷可导]]的，但复解析函数表现出一些一般实解析函数不成立的性质。此外在[[超度量域]]上也可以定義解析函數，這套想法在當代[[數論]]與[[算術代數幾何]]中有重要應用。一个函数是解析函数当且仅当这个函数在它定义域内的每个点的[[邻域]]内的[[泰勒级数]]都收敛。

解析函數集有時也寫作 <math>C^\omega</math>。

==定義==
形式地說，设開集<math>D \subseteq \mathbb{R}</math> ，且函數 <math>f: D \rightarrow \mathbb{R}</math>，若對任何 <math>x_0 \in D</math> 都存在 <math>x_0</math> 在 <math>D</math> 中的開[[鄰域]]，使得 <math>f</math> 在其內可表為下述收斂[[幂级数|冪級數]],則此'''（實）函數'''稱為<math>D</math>上的'''（實）解析函數'''：

:{|
|-
|<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots</math>
|}

其中係數 <math>a_i</math> 皆為實數。

或者等价地，實解析函數也可以定義為在定義域 <math>D</math> 內每一點<math>x_0</math>的[[泰勒级数|泰勒級數]]皆逐点收斂的[[光滑函数|光滑函數]] <math>f</math>，即：

:<math>
T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}
</math>

在<math>x_0</math>的某个邻域收斂到 <math>f(x)</math>。

集合<math>D</math>上的解析函数全体组成的集合通常记做<math>\mathcal{C}^\omega(D)</math>。

若函数<math>f(x)</math>在点<math>x_0</math>的某个邻域上解析，则称<math>f(x)</math>在点<math>x_0</math>处解析。

'''複解析函數'''的定義類此，僅須將上式的中的實數線換作複平面，並將實數換作複數即可。一个函数是复解析的，当且仅当这个函数是[[全纯函数|全纯]]的（即复可微的）。出于这个原因，术语“全纯”和“解析”经常可以互换。

==例子==
典型的解析函数有：

* 全部[[初等函数]]：
** [[多项式函数|多項式函数]]是解析的。对于次数为n的多项式，其泰勒级数中大于n阶的项必为零，自然也是收敛的。
** [[指數函數]]是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。
** [[三角函數]]、[[对数函数]]、[[幂函数]]在相应的定义域上都是解析的。

* 多数[[特殊函数]]（至少在复平面上的某些区域）
**超几何函数
***[[贝塞尔函数]]
**[[Γ函数|伽马函数]]

典型的非解析函数有：

*[[絕對值]]函數非解析函數，因為它在点0处不可微。[[分片段|分段定义]]的函数在分段处通常不是解析的。
*[[複共軛]]函數<math>z\mapsto z^*</math>非複解析函數，尽管它在實數線上的限制（即[[恆等函數|恆等函数]]）是实解析函數。但如果把它看作从<math>\mathbb{R}^2</math>到<math>\mathbb{R}^2</math>的映射，则是实解析的。

== 等价描述 ==
以下条件等价：

# <math>f</math>是<math>D\subseteq  \mathbb{R}</math>上的实解析函数。
# <math>f</math>可以复解析延拓到复平面的开集<math>G</math>上，<math>G\supseteq D</math>。
# <math>f</math>是光滑的，且对任意紧集<math>K\subset D</math>，存在常数<math>C</math>使得对任意的<math>x\in K</math>、非负整数<math>k</math>，不等式<math>\left|\frac{d^kf}{dx^k}\right|\le C^{k+1}k!</math>成立。

复解析函数与全纯函数等价，因此也更容易鉴别。

==基本性質==

* 解析函數的和、積與复合仍是解析函數（惟合成時須留意定義域的問題）。
* 若解析函數在一個開集上非零，則它在該開集上的倒數仍為解析函數。若一个可逆解析函数的导函数处处不为0，则其反函数也是解析函数。
*凡解析函數皆屬光滑函數，即无穷可微。逆命题对实解析函数不成立。实际上，在某种意义上，实解析函数相比于实光滑函数是很稀少的。对复函数，逆命题确实成立，实际上任何一次可微的复函数都是解析的。
*对任何开集<math>\Omega\subseteq \mathbb{C}</math>，所有解析函数组成的集合<math>\mathcal{A}(\Omega)</math>是[[弗雷歇空间]]（关于紧集上的一致收敛）。由[[莫雷拉定理]]易得解析函数在紧集上的一致极限仍是解析函数。全部的有界解析函数<math>\mathcal{A}_\infty(\Omega)</math>关于上确界范数构成[[巴拿赫空间]]。

事實上，假設所論解析函數皆可在原點附近一開集 <math>B(0, r) := \{ x : |x| < r \}</math> 上表示為冪級數，則上述運算可以形式地操作：
: <math> \sum_{i \geq 0} a_i x^i + \sum_{i \geq 0} b_i x^i = \sum_{i \geq 0} (a_i+b_i) x^i </math>

: <math> \sum_{i \geq 0} a_i x^i \cdot \sum_j b_j x^j = \sum_{k \geq 0} (\sum_{i+j=k} a_i b_j) x^k </math>

: <math> f(x) = \sum_{i \geq 0} a_i x^i, g(x) = \sum_{i > 0} b_i x^i </math>
:: <math> \Rightarrow (f \circ g)(x) = \sum_{i \geq 0} (\sum_{j>0} b_j x^j)^i </math>（定義域可能會縮小）

: <math> f(x) = 1 - \sum_{i>0} a_i x^i \Rightarrow \dfrac{1}{f(x)} = \sum_{j \geq 0}  (\sum_{i>0} a_i x^i)^j </math> 

其中每個運算結果的係數都可以寫成有限的代數式。

一個非零[[多項式]]的零點數不大於它的次數，解析函數的零點也有類似的限制：若一解析函數的零點集在定義域內有[[極限點]]，則函數在包含該點的[[连通空间|连通分支]]上恆為零。此外，若解析函數在一點的各階導數皆為零，則該函數在含該點的连通分支上為常數函數。

這些性質表明：尽管解析函數比多项式有更多的自由度，它仍是一個具有相當「剛性」的[[數學物件]]。

==解析與可微==
[[Image:Non-analytic smooth function.png|right|frame|本段中提到的光滑卻非解析的函數]]
如上所述，實或複解析函數均在實變數的意義上無窮可微（記作[[光滑函數]]，或 <math>C^\infty</math>）。但是存在光滑卻非解析的函數，典型的例子是
: <math>f(x) := \begin{cases}e^{-\frac{1}{x}} &  x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}</math>
可證明它是光滑的，且在原點的任意開鄰域內都有無窮多個零點，故非解析。

複解析函數則不同：凡複解析函數必為[[全纯函数|全純函數]]（即'''複可導'''，以實變數表示則是滿足[[柯西-黎曼方程]]），反之亦然，因此全純函數與解析函數在[[複分析]]中是同一類對象。

==實解析函數與複解析函數== 
實解析與複解析函數有些重要差異，一般而言複解析函數更具剛性。

依據[[刘维尔定理 (复分析)|劉維爾定理]]，定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立，例如：
: <math>f(x)=\frac{1}{x^2+1}.</math>

此外，若一個複解析函數在一個以 <math>x_0</math> 為中心的開圓盤內有定義，則在 <math>x_0</math> 的冪級數展开式在該開圓盤內收斂。對實解析函數則不然。上面举的例子在<math>x_0=0</math>处的泰勒展开式为<math>\sum_{n=0}^\infty{(-1)^nx^{2n}}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots</math>，在<math>|x|>1</math>时发散。

給定實數線上一個[[區間]] <math>I</math> 上的實解析函數 <math>f</math>，則 <math>f</math> 能延拓為複平面上一開集 <math>U \supset I</math> 上的複解析函數。然而定義在整個 <math>\mathbb{R}</math> 上的實解析函數不一定能延拓到整個 <math>\mathbb{C}</math>，如前例之 <math>f</math>，在点<math>\pm i</math>处无定义。这解释了为何<math>f</math>的泰勒级数在<math>|x|>1</math>时发散，收敛半径为1。

==超度量域上的解析函數==
冪級數可以定義在任意域上，取帶有[[絕對值]]的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 <math>\mathbb{R}</math> 與 <math>\mathbb{C}</math>；在[[數論]]上也考慮[[超度量域]]，如 [[p進數]]域 <math>\mathbb{Q}_p</math> 或 <math>\mathbb{C}_p := \widehat{\bar{\mathbb{Q}}_p}</math>。

由於超度量域滿足'''強三角不等式''' <math> |x+y| \leq \mathrm{max}(|x|,|y|)</math>，遂具備許多獨特性質，例如 <math>\sum_i a_i</math> 收斂'''当且仅当'''<math>\lim_{i \to \infty} a_i = 0</math>。雖然超度量分析缺乏實數或複數上的直觀，技術上卻往往簡單得多。

==多元解析函數==
利用多元冪級數，可將解析函數的定義直接推廣到多變元的情形。它們是局部上形如

: <math>s(x) := \sum_I a_I (x-a)^I </math>
的函數，其中 <math>x, a</math> 皆為向量，而 <math>I</math> 代表[[多重指标]]。

多元解析函数有一些性质和一元解析函数相同。但是，二維以上的解析函數还有一些有趣的新性質，複解析函數的情形尤其特出。例如：

* 根据Hartogs扩张定理，二元以上的复解析函数的零点集不会是离散的。

==相關條目==
*[[柯西－黎曼方程]]
*[[全纯函数]]
*[[偽解析函數]]
*[[解析延拓]]

==文獻==
*{{cite book |last=Conway |first=John B. |authorlink=John B. Conway |title=Functions of One Complex Variable I |url=https://archive.org/details/isbn_9781461263142 |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 11 |publisher=Springer-Verlag |year=1978 |isbn=978-0-387-90328-6 |edition=2nd |ref=harv}}

==外部連結==
* {{springer|title=Analytic function|id=p/a012240}}
* {{MathWorld | urlname= AnalyticFunction | title= Analytic Function }}

{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:J}}
[[Category:解析函数| ]]
[[Category:複分析|J]]
[[Category:微積分]]