查看“︁解析信号”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Communication
|G2=Signals and Systems
|G3=Math
}}
{{Distinguish|解析表达式|解析函数}}

在[[数学]]和[[信号处理]]中，'''解析信号'''（{{lang-en|'''analytic signal'''}}）是没有[[负频率]]分量的复值函数。<ref>``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition'', by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III
Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html {{Wayback|url=https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html |date=20210506212726 }}[7/16/2014 1:07:57 PM]</ref> 解析信号的实部和虚部是由[[希爾伯特轉換]]相关联的实值函数。

[[实数|实值]]函数的'''解析表示'''是''解析信号''，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的[[埃爾米特函數|埃尔米特对称]]，实值函数的[[傅里叶变换]]（或[[光學頻譜|频谱]]）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是“解析函数”），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是[[向量]]概念的一个推广：<ref name=Bracewell>Bracewell, Ron. ''The Fourier Transform and Its Applications''. McGraw-Hill, 1965. p269</ref> 向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。

==定义==
[[File:Analytisches-signal-uebertragungsfunktion-en.svg|thumb|250px|创建一个解析信号的传递函数]]
若 <math>s(t)</math> 是一个''实值''函数，其傅里叶变换为 <math>S(f)</math>，<math>S(f)</math>為一於 <math>f = 0</math> [[埃爾米特函數|埃尔米特]]对称之函數：
:<math>S(-f) = S(f)^*,</math> &nbsp; 其中，<math>S(f)^*</math>为 <math>S(f)</math> 的[[共轭复数|复共轭]]。

函数：
:<math>
\begin{align}
S_\mathrm{a}(f) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}}
\begin{cases}
2S(f), &\text{for}\ f > 0,\\
S(f), &\text{for}\ f = 0,\\
0, &\text{for}\ f < 0
\end{cases}\\
&= \underbrace{2 \operatorname{u}(f)}_{1 + \sgn(f)}S(f) = S(f) + \sgn(f)S(f),
\end{align}
</math>
<blockquote>
其中：
*<math>\operatorname{u}(f)</math> 是[[单位阶跃函数]]，
*<math>\sgn(f)</math> 是[[符号函数]]，
</blockquote>
仅包含 <math>S(f)</math> 的''非负频率''分量。而且由于 <math>S(f)</math> 的埃尔米特对称性，该运算是可逆的：
:<math> 
\begin{align}
S(f) &=
\begin{cases}
\frac{1}{2}S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f > 0,\\
S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f = 0,\\
\frac{1}{2}S_\mathrm{a}(-f)^*, &\text{for}\ f < 0\ \text{(Hermitian symmetry)}
\end{cases}\\
&= \frac{1}{2}[S_\mathrm{a}(f) + S_\mathrm{a}(-f)^*].
\end{align}
</math>


<math>s(t)</math> 的'''解析信号'''是 <math>S_\mathrm{a}(f)</math> 的傅里叶逆变换：
:<math>\begin{align}
s_\mathrm{a}(t) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \mathcal{F}^{-1}[S_\mathrm{a}(f)]\\
&= \mathcal{F}^{-1}[S (f)+ \sgn(f) \cdot S(f)]\\
&= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} + \overbrace{
\underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\sgn(f)\}}_{j\frac{1}{\pi t}} * \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)}
}^{convolution}\\
&= s(t) + j\underbrace{\left[{1 \over \pi t} * s(t)\right]}_{\operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]}\\
&= s(t) + j\hat{s}(t),
\end{align}</math>
其中
*<math>\hat{s}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]</math> 是 <math>s(t)</math> 的[[希爾伯特轉換]]；
*<math>*</math> 是[[卷积]]符号；
*<math>j</math> 是[[虛數單位]]。

==例子==
===例1===
:<math>s(t) = \cos(\omega t),</math> &nbsp; 其中 &nbsp;<math>\omega > 0.</math>

于是：
:<math>\hat{s}(t) = \cos(\omega t - \pi/2) = \sin(\omega t),</math>
:<math>s_\mathrm{a}(t) = s(t) + j\hat{s}(t) = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t) = e^{j\omega t}.</math>&nbsp; 第三个等式为[[欧拉公式]]。


[[欧拉公式]]的一个推论是 <math>\cos(\omega t) = \tfrac{1}{2} (e^{j\omega t} + e^{j (-\omega) t}).</math> 一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃[[负频率]]分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。

===例2===
这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。

:<math>s(t) = \cos(\omega t+\theta) = \tfrac{1}{2} (e^{j (\omega t+\theta)} + e^{-j (\omega t+\theta)})</math>

于是：
:<math>s_\mathrm{a}(t) = 
\begin{cases}
e^{j(\omega t + \theta)} \ \ = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{j\theta} , & \text{if} \ \omega  > 0, \\
e^{-j(\omega t + \theta)} = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{-j\theta} , & \text{if} \ \omega  < 0.
\end{cases}
</math>

===例3===
这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 <math>s(t)</math>，没有什么能阻止我们计算 <math>s_\mathrm{a}(t)</math>。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设 <math>s(t)</math> 为实值函数。

:<math>s(t) = e^{-j\omega t}</math>, 其中 <math>\omega > 0</math>.

于是：
:<math>\hat{s}(t) = je^{-j\omega t},</math>
:<math>s_\mathrm{a}(t) = e^{-j\omega t} + j^2 e^{-j\omega t} = e^{-j\omega t} - e^{-j\omega t} = 0.</math>

==负频率分量==
由于 <math>s(t) = \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}(t)]</math>，恢复负频率分量就是简简单单丢弃 <math>\operatorname{Im}[s_\mathrm{a}(t)]</math> 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 <math>s_\mathrm{a}^*(t)</math> ''仅''由负频率分量构成。因此 <math>\operatorname{Re}[s_\mathrm{a}^*(t)]</math> 恢复了被减弱的正频率分量。

==应用==
===包络和瞬时相位===
[[Image:analytic.svg|thumb|300px|一个函数（蓝色）和它的解析表示的模（红），显示出包络现象。]]
解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（[[极坐标系|极坐标]]）：
:<math>s_\mathrm{a}(t) = s_\mathrm{m}(t)e^{j\phi(t)},</math>
其中：
*<math>s_\mathrm{m}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} |s_\mathrm{a}(t)|</math> 称作''瞬时振幅''或''{{le|包络 (波)|envelope (waves)|包络}}''；
*<math>\phi(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \arg\!\left[s_\mathrm{a}(t)\right]</math> 称作''[[瞬時頻率|瞬时相位]]''。

在附图中，蓝色曲线描绘 <math>s(t)</math>，红色曲线描绘对应的 <math>s_\mathrm{m}(t)</math>。

[[瞬時頻率|解缠的]]瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作''瞬时角频率''：
:<math>\omega(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{d\phi}{dt}(t).</math>

因此，''[[瞬時頻率]]''（单位[[赫兹]]）为：
:<math>f(t)\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{1}{2\pi}\omega(t).</math> &nbsp;<ref>B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992</ref>

瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与[[調變|调制信号]]的解调有关。极坐标方便将[[振幅調變]]和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。

=== {{anchor|Complex envelope}} 复包络/基带===
解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0&nbsp;Hz，可能会产生[非对称]负频率分量：
:<math>\underline{s_\mathrm{a}}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} s_\mathrm{a}(t)e^{-j\omega_0 t} = s_\mathrm{m}(t)e^{j(\phi(t) - \omega_0 t)},</math>
其中 <math>\omega_0</math> 是任意参考角频率。<ref name=Bracewell/>

这个函数有不同的名称，如''复包络''和''复[[基带]]''。复包络不是唯一的；它是由 <math>\omega_0</math> 的选取决定的。这个概念通常用于处理{{le|通带|passband|带通信号}}。如果 <math>s(t)</math> 是调制信号，<math>\omega_0</math> 可能会等于它的{{le|载波频率|carrier frequency}}。

在其他情况下，<math>\omega_0</math> 选在所需通带的中间。因此简单的实系数[[低通滤波器]]就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率，从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说，下转换的信号仍然是''解析信号''。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免[[混疊]]可能需要上转换，若信号已被（离散时间）[[取樣|采样]]，还可能需要[[插值]]（[[升採樣]]）。

若选取的 <math>\omega_0</math> 大于 <math>s_\mathrm{a}(t)</math> 的最高频率，则 <math>\underline{s_\mathrm{a}}(t)</math> 没有正频率。在这种情况下，提取实部并恢复它们，但顺序要相反；低频分量现在变为高频分量，反之亦然。这可用于解调一种叫做''下边带''的[[单边带调制|单边带]]信号。

;参考频率的其他选择：

有时 <math>\omega_0</math> 的选取是要最小化
:<math>\int_{0}^{+\infty}(\omega - \omega_0)^2|S_\mathrm{a}(\omega)|^2\, d\omega.</math>

另外，<ref>{{Cite journal|last=Justice|first=J.|date=1979-12-01|title=Analytic signal processing in music computation|url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1163321|journal=IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing|volume=27|issue=6|pages=670–684|doi=10.1109/TASSP.1979.1163321|issn=0096-3518|access-date=2016-08-05|archive-date=2014-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20141020183005/http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1163321|dead-url=no}}</ref> <math>\omega_0</math> 选取还可以是要最小化线性逼近''解缠的''瞬时相位 <math>\phi(t)</math> 的均方误差：
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty}[\omega(t) - \omega_0]^2 |s_\mathrm{a}(t)|^2\, dt</math>
再或者（对最佳 <math>\theta</math>）：
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty}[\phi(t) - (\omega_0 t + \theta)]^2\, dt.</math>

在信号处理领域，[[維格納準概率分佈|维格纳–威利分布]]定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。<ref>B. Boashash, “Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis”, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987</ref>

有时复包络与[[相量|复振幅]]同义；{{efn|"the complex envelope (or complex amplitude)"<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=tOeeJyP95IQC|title=Time-Frequency Analysis|last=Hlawatsch|first=Franz|last2=Auger|first2=François|date=2013-03-01|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781118623831|language=en}}</ref>}}{{efn|"the complex envelope (or complex amplitude)", p.586 <ref>{{Cite book|url=http://books.google.com.br/books?id=kxICp6t-CDAC&lpg=RA1-PA586&dq=%2522complex%2520amplitude%2522%2520%2522complex%2520envelope%2522&pg=RA1-PA586#v=onepage&q=%2522complex%2520amplitude%2522%2520%2522complex%2520envelope%2522&f=false|title=Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024|last=Driggers|first=Ronald G.|date=2003-01-01|publisher=CRC Press|isbn=9780824742508|language=en|access-date=2016-08-05|archive-date=2014-10-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20141021173706/http://books.google.com.br/books?id=kxICp6t-CDAC&lpg=RA1-PA586&dq=%22complex%20amplitude%22%20%22complex%20envelope%22&pg=RA1-PA586#v=onepage&q=%2522complex%2520amplitude%2522%2520%2522complex%2520envelope%2522&f=false|dead-url=no}}</ref>}}
其他时候它作为一种时间无关的推广形式。{{efn|"Complex envelope is an extended interpretation of complex amplitude as a function of time." p.85<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=tXQy5JdQyZoC|title=Global Environment Remote Sensing|last=Okamoto|first=Kenʼichi|date=2001-01-01|publisher=IOS Press|isbn=9781586031015|language=en}}</ref>}} 它们的关系并不像实值的情形那样；变化的{{le|包络 (波)|Envelope (waves)|包络}}产生恒定的[[振幅]]。

==参见==
*[[希爾伯特轉換]]
*[[负频率]]

===应用===
*[[单边带调制]]
*{{le|正交滤波器|Quadrature filter}}
*{{le|因果滤波器|Causal filter}}

==注释==
{{notelist}}

==参考文献==
{{reflist}}

==延伸阅读==
*Leon Cohen, ''Time-frequency analysis'', Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
*Frederick W. King, ''Hilbert Transforms'', vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
*B. Boashash, ''Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference'', Elsevier Science, Oxford, 2003.

==外部链接==
*[http://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html Analytic Signals and Hilbert Transform Filters] {{Wayback|url=http://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html |date=20210430171655 }}

{{DEFAULTSORT:解析信号}}
[[Category:信号处理]]
[[Category:傅里叶分析]]