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{{Unreferenced|date=2017年9月}}
[[File:Rlocus3.png|thumbnail|根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成[[向量]]的量值會滿足量值條件]]
 
'''角度條件'''（angle condition）是[[自動控制]]的[[根軌跡圖]]中，有關角度的限制條件，根軌跡圖中的點和[[閉迴路極點]]、零點組成[[向量]]的角度會滿足角度條件。角度條件和[[量值條件]]可以完全確定根軌跡圖。

令系統的特徵方程為<math>1+\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=0</math>，而<math>\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}</math>，可改寫為以下各因式相乘的形式

: <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2) \cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots(s-b_m)},</math>

則角度條件是指

:<math>\angle (\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)) = \pi+2k\pi</math>

其中<math>k</math>為整數。

也就是說 

:<math>\sum_{i=1}^{m}\angle(s-b_i) - \sum_{i=1}^{n}\angle(s-a_i) = \pi+2k\pi</math>

開迴路零點到<math>s</math>點角度的和，減去開迴路極點到<math>s</math>點角度的和，除<math>2\pi</math>後的餘數需等於<math>\pi</math>。
==推導==
假設。若將控制方程改為[[極坐標]]表示

: <math>e^{j2\pi}+\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=0 </math>

: <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=-1=e^{j(\pi+2k\pi)}</math>

其中<math>k=0,1,2,\ldots</math>為方程式中的解。將<math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)</math>改寫為各因式相乘的形式

: <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2) \cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots(s-b_m)},</math>

再將因式<math>(s-a_p)</math>及<math>(s-b_q)</math>用[[向量]]的形式<math>A_pe^{j\theta_p}</math>及<math>B_qe^{j\varphi_q}</math>表示，因此可以改寫<math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)</math>如下。

: <math>\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m)}}</math>

簡化特徵方程式，

: <math>
\begin{align}
e^{j(\pi+2k\pi)} & = K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m)}} \\[6pt]
& = K\frac{A_1 A_2 \cdots A_n}{B_1 B_2 \cdots B_m}e^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n-(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m))},
\end{align}
</math>

因此可以得到角度條件：

: <math>\pi+2k\pi=\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n-(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m) </math>

其中<math>k=0,1,2,\ldots</math>, 

: <math>\theta_1,\theta_2, \ldots, \theta_n </math>

為極點1至''n''的角度，而

: <math>\varphi_1,\varphi_2, \ldots, \varphi_m </math>

為零點1至''m''的角度。

也可以用類似的方式推導[[量值條件]]。
{{DEFAULTSORT:Angle Condition}}
[[Category:控制理论]]